2010_数学校内竞赛试题(4)

，则()x x dx xe dx f x '??= ? ????? ()()x x x x x x xe e C f x f x xe e C

?=-+?=-+ 利用条件()11f =，则1C =

即()1

x x x f x xe e =-+. 我得说一句实话，上面那个变形我一开始还真没有看出来，当时的思路是既然是微分方程了

那就直接解微分方程吧。

（适用数学系学生）

21x dy y e y dx x ??+-=- ???

，记()()1,x p x q x e x -=-=-，显然这是一个2n =的Bernoulli 方程. 两边同时乘以()21n n y

y ---=-，则211x dy y y e dx x ---+= 引入变换1z y -=，上式变为1x dz z e dx x

+=. 显然这是一个非齐次一阶线性方程. 先考虑它的齐次一阶线性方程

10dz z dx x += 分离变量得到11ln ln dz c dx z x c z z x x

=-?=-+?= 下面可以利用常数变易法或者积分因子法去求非齐次线性方程的解，这里采用积分因子法，

直接使用通解公式()()()P x dx P x dx z e C Q x e dx -????=+ ????（这里()()1,x P x Q x e x

==） 有()

()11x x x z C xe dx C xe e x x =+=+-? 也即

()11x x C xe e y x

=+-，利用()11f =，定出1C =，整理后得到1x x x y xe e =-+