梨花飞雪影无眠，则2z x y =+的最小值为_____
【答案】6
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】由约束条件作出可行域如图阴影所示，
化目标函数z ＝2x +y 为y ＝﹣2x +z ，
由图可知，当直线y ＝﹣2x +z 过A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最小，联立4y x y x =-+??
=?
得A （2,2），故z 的最小值为6
故答案为6
- 12 -
【
点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15. 已知0x >，0y >，且
211x y
+=，若227x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是______. 【答案】()1,8-
【解析】
【分析】 根据()214224y x x y x y x y x y ??+=++=++ ???
，利用基本不等式得出28x y +≥，即278m m -<，求解即可得到得出m 的范围.
【详解】因为211x y
+=， 所以()2144224428y x y x x y x y x y x y x y ??+=++=++≥+?=
???
（当且仅当4y x x y =时等号成立）， 因为227x y m m +>-恒成立，
所以278m m -<，解得：18m -<<.
故答案为：()1,8-
【点睛】本题考查了基本不等式的应用和恒成立问题的转换，应注意基本不等式中等号成立的条件，属于基础题.
16. 已知函数22()()()f x x x x ax b =-++的图象关于直线2x =对称，则 a b +=______；
- 13 - 函数()y f x =的最小值为 _________.
【答案】 (1). 5 (2). 94-
【解析】
【分析】
根据函数图像的对称性可得(2)(2)f x f x +=-,可对x 进行赋值,求,a b ,构造函数，根据二次函数的性质，即可得出结果.
【详解】因为()y f x =图像关于直线2x =对称,所以(2)(2)f x f x +=-
当1x =时,(3)(1)f f =得(93)(93)0a b -++=①
当2x =时,(4)(0)f f =得(164)(164)0a b -++=②
联立①②可得:7,12a b =-=,所以5a b +=；
所以2222()()(712)(1)(3)(4)(4)(43)f x x x x x x x x x x x x x =--+=---=--+, 令224(2)44t x x x =-=--≥-,
则2()(3)3,4f t t t t t t =+=+≥-，
因为2()3f t t t =+是开口向上，对称轴为32
t =-， 所以函数2()3f t t t =+在34,2?
?-- ???上单调递减，在3,2??-+∞ ???
上单调递增， 所以min 39()24f t f ??=-
=- ???. 故答案为:94
- 【点睛】本题主要考查由函数对称性求参数，以及求函数最值的问题，熟记函数对称性，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设p ：实数x 满足()22
2300x ax a a --<>，q ：24x ≤<. （1）若1a =，且p ，q 都为真命题，求x 取值范围；
（2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
- 14 - 【答案】（1）{}23x x ≤<；（2）43a a ?
?≥????
. 【解析】
【分析】
（1）由p 为真时，得13x ，由p ，q 都为真命题，即可求出x 的范围；
（2）由充分不必要条件的定义，得{}{}243x x x a x a ≤<-<<，则2
034a a a -??≥?
解之即可.
【详解】解：（1）若1a =，则22230x ax a --<可化为2230x x --<，得13x
. 若q 为真命题，则24x ≤<.
∴p ，q 都为真命题时，x 的取值范围是{}
23x x ≤<. （2）由()22
2300x ax a a --<>，得3a x a -<<. q ：24x ≤<，q 是p 的充分不必要条件，
∴{}{}243x x x a x a ≤<-<<，
则2034a a a -??≥?，得43a ≥. ∴实数a 的取值范围是43a a ?
?≥????
. 【点睛】本题考查命题的真假和充分、必要条件，考查推理能力和计算能力，属于一般题.
18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2414a a +=，770S =.
（1）求数列{}n a 的通项公式.
（2）设248n n nb S =+，数列{}n b 的最小项是第几项？求出最小项的值.
【答案】（1）32n a n =-；（2）最小项是第4项，该项的值为23.
- 15 - 【解析】
【分析】
（1）设公差为d ，根据2414a a +=，770S =列出方程组求出首项与公差，进而可得通项公式；（2）由（1）可得4831n b n n
=+-，利用基本不等式即可求解. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则有11
241472170a d a d +=??+=?， 即11
27310a d a d +=??+=?，解得113a d =??=?. 所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-.
（2）()2313222
n n n n S n -=+-=????，
所以23484831123n n n b n n n -+==+-≥=， 当且仅当483n n
=，即4n =时上式取等号， 故数列{}n b 的最小项是第4项，该项的值为23.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式，考查利用基本不等式求最值，考查推理能力和计算能力，属于中档题.
19. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是,,a b c ，向量m ＝(a －c ，b ＋c )，n ＝(b －c ，a )，且m n .
（1）求B ；
（2）若b ＝13，cos 6A π?
?+ ???
，求a .
- 16 - 【答案】(1)
3
π； (2)1. 【解析】
【分析】 （1）由m n ∥，整理得222a c b ac +-=，结合余弦定理，即可求解；
（2）由（1）得5(,)666A πππ+∈
，利用三角函数的基本关系式，求得sin()6A π+=，
进而得到sin A =，再利用正弦定理，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为m n ∥，所以()()()a a c b c b c ?-=+-，
整理得222a c b ac +-=， 由余弦定理可得2221cos 222
a c
b a
c B ac ac +-===， 因为(0,)B π∈，所以3
B π
=. （2）由（1）可得2(0,)3
A π∈，则5(,)666A πππ+∈， 又由cos()6A π
+
=26
，所以sin()6A π+=
所以sin sin[()]66A A ππ=+-= 在ABC ?中，由正弦定理可得sin sin a b A B
=
，所以sin 1sin b A a B ===. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
20. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -
中，4,,AC BC AB M N ===分别为1,AB CC 的中点
- 17 -
（1）求证：CM ∥平面1B AN ；
（2）若11A M B C ⊥，求平面1B AN 与平面1B MC 所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见证明；310 【解析】
【分析】
（1）取1AB 的中点E ，连接EM ，EN ，可得四边形EMCN 为平行四边形，得到CM∥NE．再由直线与平面平行的判定可得CM ∥平面1B AN ；（2）由已知证明1A M ⊥平面1B MC ，以M 为坐标原点，,,MB MC ME 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系M xyz -，求出平面1B AN 的一个法向量n ，由平面1B MC 的法向量1AM 与n 所成角的余弦值可得平面1B AN 与平面1B MC 所成锐二面角的余弦值．
【详解】（1）证明：取1AB 的中点E ，连接EM ，EN ，
在△1ABB 中，E ，M 分别是1AB ，AB 的中点，则EM∥1BB ，且112EM BB =
， 又N 为1CC 的中点，1CC ∥1BB ，
∴NC ∥1BB ，112
NC BB =， 从而有EM∥NC 且EM=NC ，
∴四边形EMCN 为平行四边形，则CM∥NE．
又∵CM ?平面1B AN ，NE ?平面1B AN ，
- 18 - ∴CM∥平面1B AN ；
（2）∵AC=BC，M 为AB 的中点，∴CM⊥AB， 直三棱柱111ABC A B C -中，由1AA ⊥平面ABC ，得1AA ⊥CM ，
又∵AB∩1AA =A ，∴CM ⊥平面1ABB 1A ，从而1A M CM ⊥
又∵11A M B C ⊥，1B C CM C ?=，∴1A M ⊥平面1B MC ，
从而有11A M B M ⊥， ∵4,43,AC BC AB AM MB ====，∴123AA AM ==．
由（1）知EM ∥1BB ，∴EM ⊥平面ABC ． 以M 为坐标原点，,,MB MC ME 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系M-xyz ，
则()((1123,0,0,23,0,23,23,0,23A A B --，C （0，2，0），N （0，23． ∴()()(1123,0,23,43,0,23,23,2,3A M AB AN =-==．
设平面1B AN 的法向量为n =（,,x y z ）， 则14323023230
n AB z n AN x y z ??=+=???=++=??，取1x = ，则n =（1，0，-2），
平面1B MC 的法向量为(123,0,23A M =-，
- 19 - ∴111310cos ||A M n
A M n A M n ?<>=
=?， ∴平面1B AN 与平面1B MC ． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
21. 已知函数()()4log 41x f x mx =++是
偶函数，函数()42x x
n g x -=是奇函数. （1）求m n +的值；
（2）设()()12h x f x x =+
，若()()4log 21g x h a >+????对任意1≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）12m n +=
；（2）132a a ??-<
. 【解析】
【分析】 （1）利用()g x 是奇函数可得n 的值，利用()f x 是偶函数可得m 的值，由此可得答案；（2）
易得()41222
x x x x g x --==-在区间[)1,+∞上是增函数，可得()g x 的最小值，结合对数函数的性质可得32224220210a a a ?+??+>??，解不等式即可.
【详解】（1）由于()g x 为奇函数，且定义域为R ， ∴()00g =，即004012n n -=?=， 经检验，1n =符合题意； ∵()()4log 41x f x mx =++， ∴()()4log 41x f x mx --=+- ()()4log 411x m x =+-+
- 20 - ∵()f x 是偶函数，
∴()()f x f x -=，得()1mx m x =-+恒成立， 故12
m =- 综上所述，可得12m n +=
（2）∵()()()41log 412
x h x f x x =+=+， ∴()()44log 21log 22h a a +=+????
又∵()41222
x x x x g x --==-在区间[1,)+∞上是增函数， ∴当1≥x 时，()()min 312
g x g == 由题意，得32224122032210a a a a ?+?-<??
， 因此实数a 的取值范围是：132a a ?
?-<
. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性，不等式的恒成立问题，属于中档题.
22. 已知向量()2sin ,sin cos θθθ=+m ，(cos ,2)n m θ=--，函数()f m n θ=?的最小值为()()g m m R ∈
（1）当1m =时，求()g m 的值；
（2）求()g m ；
（3）已知函数()h x 为定义在R 上的增函数，且对任意的12,x x 都满足
1212()()()h x x h x h x +=+
问：是否存在这样的实数m ，使不等式(())h f θ4()sin cos h θθ
-++(32)0h m +>对所有[0,]2
πθ∈ 恒成立，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.
- 21 - 【答案】（1
）1-（2
）2(1,248()=,2241(2m m m m g m m m m ?+≤-?++?--<
；（3）见解析 【解析】
【分析】
（1）把1m =，代入相应的向量坐标表示式，然后，利用向量数量积的坐标表示，化简函数解析式即可；
（2
）转化成二次函数问题，对对称轴的位置与区间[ 进行讨论；
（3）利用函数()h x 为定义在R 上的函数，得到4[22]32h sin m sin cos h m sin cos θθθθθ
-++---+（）（）＞（） ，然后，再根据函数的单调性，转化成
42232sin m sin cos m sin cos θθθθθ
-++-
--+（）（）＞，最后，利用换元法sin cos t θθ=+，转化成()()22222t t t t m t t t -+->=+-，求解函数()g t
在??上的最大值为3，从而解决问题．
【详解】（1）()()()sin22sin cos f m θθθθ=-++令sin cos t θθ=+
，t ∈，则2sin21t θ=-
当1m =
时，2min g(m)=(t 31)1t --=-（2）()()()221f F t t m t θ==-+-
，t ∈
(
(
221,248g(m)=,224122m m m m m m m ?+≤-?++?--<
（3）令120,0==x x ，所以()()()()00000=+?=f f f f
令12,x x x x ==-，所以()()()0f f x f x =+-，所以()()f x f x =--
