清华大学 任玉新---高等计算流体力学(2)

。 對错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。式的右端進行有限差分離散，就可以算出,,,,,xx xy yy xx xy yy ξξξηηη。

三、任意曲线坐标系中流体力学方程组的守恒形式

考虑直角坐标系中的二维守恒型Navier －Stokes 方程：

()()0v v t x y

??-?-++=???U F F G G 。 利用一阶导数的变换公式，有

18 ()()()()0v v v v x y x y t ξξηηξξηη??-?-?-?-++++=?????U F F G G F F G G 。 错误！未找到引用源。式稱為(,)ξη平面上Navier －Stokes 方程的弱守恆形式。在错误！未找到引用源。式兩側乘以Jacobian J ，有

()()()()0v v v v x y x y J J J J J t ξξηηξξηη

??-?-?-?-++++=?????U F F G G F F G G 。 上面的方程中的各项可以进一步整理：

()()(){[()()]}()()()()()(){[()()]}()()()(),v v x y v x v y v x v y v v x y v x v y v x v y J J

t t

J J J J J J J J J J ξξξξξξξ

ξξξξ

ηηηηηηη

ηηηη??=???-?-?+=-+-?????----???-?-?+=-+-?????----??U U F F G G F F G G F F G G F F G G F F G G F F G G 得

(){[()()]}{[()()]}()[()()]()[()()]0v x v y v x v y v x x v y y J J J t J J J J ξξηηξηξηξηξηξη

???+-+-+-+-???????--+--+=????U F F G G F F G G F F G G 。

19 注意到

[

()()]()()0[()()]()()0

x x y y J J y y J J x x ηξηξξηξηξηξηξηξη????+=+-=?????

?

??

+=-+=????， 所以，

式可化简为 ()

{[()()]}{[()()]}0v x v y v x v y J J J t ξξηηξη??

?

+-+-+-+-=???U F F G G F F G G 。

错误！未找到引用源。式稱為(,)ξη平面上Navier －Stokes 方程的強守恆形式，一般記為： ()()()0v v t ξη???

+-+-=???U F F G G ，

(8) 其中

20

[][][][]x y

x y

v v x v y

v v x v y J J J J J ξξηηξξηη==+=+=+=+U

U F F G G F G F F G G F G 。

第2节 有限差分方法和有限体积方法

本节从一般意义上介绍求解Euler 方程的有限体积方法和有限差分方法。本节将不介绍具体的空间离散格式，也不涉及时间导数的离散方法；而是以半离散的有限差分和有限体积方法为例，讨论有限体积和有限差分方法的主要特徵以及二者之间的关系。注意到，本节中的所有分析，都假定网格是不随时间变化的，因此所有几何量都可以从时间导数项中提出。当网格随时间变化，例如动网格的情况下，除了随时间变化的几何量不能从时间导数项中提出来，其他的分析和本书是相同的。

考虑二维守恒型Euler 方程：

0=??+??+??y

G x F t U (9) 其中：

21 ????????????=E v u U ρρρρ ??

??????

?

???++=)(2p E u uv p u u F ρρρρ ??

??

?

???????++=)(2

p E v p v uv v G ρρρρ

式也可以写为： ()0U

Fi Gj t ?+?+=?

(10)

图3.有限体积方法的控制体

一、有限体积方法－方案A