回忆辉煌导数在研究函数中的应用单元测试
一、选择题
1．下列函数在()
-+
，
∞∞内为单调函数的是（）
Ａ．2
y x x
=-Ｂ．y x
=
Ｃ．x
y e-
=Ｄ．sin
y x
=
答案：Ｃ
2．函数ln
y x x
=在区间(01)，上是（）
Ａ．单调增函数
Ｂ．单调减函数
Ｃ．在
1
e
??
?
??
，上是单调减函数，在
1
1
e
??
?
??
，上是单调增函数
Ｄ．在
1
e
??
?
??
，上是单调增函数，在
1
1
e
??
?
??
，上是单调减函数
答案：Ｃ
3．函数23
()(2)(1)
f x x x
=+-的极大值点是（）
Ａ．
4
5
x=-Ｂ．1
x=Ｃ．1
x=-Ｄ．2
x=-
答案：Ｄ
4．已知函数32
()
f x x px qx
=--的图象与x轴相切于(10)
，极大值为4
27
，极小值为（）
Ａ．极大值为4
27
，极小值为0
Ｂ．极大值为0，极小值为
4 27 -
Ｃ．极大值为0，极小值为
5 27 -
Ｄ．极大值为5
27
，极小值为0
答案：Ａ
5．函数2cos
y x x
=+在
π
2
??
??
??
，上取最大值时，x的值为（）
1
Ａ．0 Ｂ．π
6
Ｃ．
π
3
Ｄ．
π
2
答案：Ｂ
6．设函数()
f x在定义域内可导，()
y f x
=的图象如图1所示，则导函数()
y f x
'
=的图象可能为（）
答案：Ｂ
二、填空题
7．函数2
2ln(0)
y x x x
=->的单调增区间为．
答案：
1
2
??
+
?
??
，∞
8．函数2
()ln3
f x a x bx x
=++的极值点为
1
1
x=，
2
2
x=，则a=，b=．答案：
1
2
2
--
，
9．函数42
()25
f x x x
=-+在[22]
-，上单调递增，则实数a的取值范围是．
答案：4
10．函数32
()5
f x ax x x
=-+-在()
-+
，
∞∞上单调递增，则实数a的取值范围是．答案：
1
3
??
+
?
??
，∞
2
11．函数543
()551
f x x x x
=-++在[12]
-，上的值域为．
答案：[102]
-，
12．在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图2所示．当x为时，正三棱柱的体积最大，最大值是．
答案：
3 65
4 a a ，
三、解答题
13．已知0
x>，证明不等式ln(1)
x x
>+．证明：原不等式等价于证明ln(1)0
x x
-+>．
设()ln(1)
f x x x
=-+，则
1
()1
11
x
f x
x x
'=-=
++
．
3
4 0x >∵，()0f x '>∴．
()f x ∴在(0)x ∈+，∞上是单调增函数．
又(0)0ln10f =-=，
()(0)0f x f >=∴即ln(1)0x x -+>，亦即ln(1)x x >+．
14．已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =处有极小值1-，试求a b ，的值，并求出()f x 的单调区间．
解：由已知，可得(1)1321f a b =-+=-，
又2()362f x x ax b '=-+， ①
(1)3620f a b '=-+=∴， ② 由①，②，解得1132a b ==-，． 故函数的解析式为32()f x x x x =--．
由此得2()321f x x x '=--，根据二次函数的性质，当13
x <-或1x >时，()0f x '>； 当113
x -<<，()0f x '<． 因此函数的单调增区间为13??-- ???，∞和(1)+，∞，函数的单调减区间为113??- ???
，．
15．已知某工厂生产x 件产品的成本为212500020040
C x x =++
（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
解：（1）设平均成本为y 元，则2125000200250004020040
x x x y x x ++
==++， 225000140
y x -'=+，令0y '=得1000x =． 当在1000x =附近左侧时0y '<；
在1000x =附近右侧时0y '>，故当1000x =时，y 取极小值，而函数只有一个点使0y '=，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品．
（2）利润函数为2250025000200300250004040x x S x x x ??=-++=-- ??
?，30020x S '=-， 令0S '=，得6000x =，当在6000x =附近左侧时0S '>；在6000x =附近右侧时0S '<，故当6000x =时，S 取极大值，而函数只有一个点使0S '=，故函数在该点处取得最大值，因
此，要使利润最大，应生产6000件产品．
5
