水漾月微醺8.4 直线与圆锥曲线的位置关系 随堂检测（含答案解析）
12222(2012·高考大纲全国卷)已知抛物线C：y＝(x＋1)与圆M：(x－1)＋(y)＝r(r＞2
0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.
(1)求r；
(2)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离． 解：(1)设A(x2
0，(x0＋1))．
对y＝(x＋1)2求导得y′＝2(x＋1)．
故l的斜率k＝2(x0＋1)．
当x0＝1时，不合题意，所以x0≠1.
x210＋1
圆心为M(112
2)，MA的斜率kx10－由l⊥MA知k·k′＝－1，
x210＋1－
即2(x2
0＋1)·x＝－1，解得：x0＝0，故A(0,1)，
0－1
r＝|MA|＝1－02＋155
212＝2，即r＝2(2)设(t，(t＋1)2)为C上一点，则在该点处的切线方程为
y－(t＋1)2＝2(t＋1)(x－t)，即y＝2(t＋1)x－t2＋1.
若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为5
2 |2t＋1×1－1－t2＋
即21|
[2t＋1]2＋－1252
化简得t2(t2－4t－6)＝0，
解得t0＝0，t1＝2＋10，t2＝210.
抛物线C在点(t(t2
i，i＋1))(i＝0,1,2)处的切线分别为l，m，n，其方程分别为
y＝2x＋1，①
y＝2(t1＋1)x－t2
1＋1，② y＝2(t2＋1)x－t2
2＋1，③
②－③得x＝t1＋t2
22.
将x＝2代入②得y＝－1，故D(2，－1)．
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