沐若清辰
于是，ax2x1?1?x1lnx1＜
1(x1?p)x?x1lnp．
1?p整理，得(2?lnp?a)x21?(2p?ap?plnp?1)x1?p＞0， 即，x21?(3ea?1?1)x1?ea?1＞0．
同理，x22?(3ea?1?1)x?12?ea＜0．
故，x2a?12?(3e?1)x2?ea?1＜x21?(3ea?1?1)xa?11?e，
(x?12?x1)(x2?x1)＜(3ea?1)(x2?x1)，
于是，xa?11?x2＜3e?1．
综上，2＜x1+x2＜3ea?1?1．?????????????????????数学Ⅰ试卷 第16页（共20页）
分
16
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4?1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，
AH⊥PB于H．
证：连AC，AB．
B．[选修4?2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
因BC为圆O的直径，故AC⊥AB． 又AH⊥PB，故AH2?CH·HB，即
P B H C A （第21（A）题）
O 求证：PA·AH?PC·HB．
AHHB．???????????? ?CHAH5分
因PA为圆O的切线，故∠PAC?∠B． 在Rt△ABC中，∠B+∠ACB??0°． 在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB??0°． 所以，∠HAC?∠B． 所以，∠PAC?∠CAH， 所以，所以，
P C A （第21（A）题答图）
H O B PCPAAHPA，即． ??CHAHCHPCPAHB，即PA·AH?PC·HB．???????????????? ?PCAH10分
?01??，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵M??1??0??2?点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为A?，B?，C?，求△A?B?C?的面积．
?2??0??0??2??0??1???解：因M?????，M?????，M???1，
?0??0??0???1??2?????2?
1即A?(0，0)，B?(0，?1)，C?(2，?)．???????????????????? 6分
21故S??A?B??2?1．???????????????????????? 10分
2数学Ⅰ试卷 第17页（共20页）
C．[选修4?4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
?x?rcos?，在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（?为参数，r为常数，r＞0）．以
y?rsin?，?原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
?2?cos(??)?2?0．若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB?22，求r的值．
4?解：由2?cos(??)?2?0，得?cos???sin??2?0，
4
即直线l的方程为x?y?2?0．???????????????????? 3分 ?x?rcos?，由?得曲线C的普通方程为x2?y2?r2，圆心坐标为(0,0)，??? 6分 ?y?rsin?，
所以，圆心到直线的距离d?2，由AB?2r2?d2，则r?2．?????? 10分
D．[选修4?5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：
14936． ??≥a?bb?cc?da?d证：因a＞b＞c＞d，故a?b＞0，b?c＞0，c?d＞0．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 ．．．．．．． 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB． （1）求AD1与面BB1D1D所成角的正弦值；
（2）点E在侧棱AA1上，若二面角E?BD?C1的余弦值为AE求的值． AA1数学Ⅰ试卷 第18页（共20页）
A1 D1 49??12??故[(a?b)?(b?c)?(c?d)]??≥(1?2?3)?36，????? 6分 ?a?bb?cc?d?所以，
14936．??????????????????? 10分 ??≥a?bb?cc?da?d C1 B1
3， 3D A B （第22题）
C
解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系D?xyz． 设AB?1，则D（0，0，0），A（1，0，0）， B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），
A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2）． （1）设AD1与面BB1D1D所成角的大小为?，
D C A1 D1 z C1 B1 2分
?????AD1?(?1，， 0 2)，
设平面BB1D1D的法向量为n?（x，y，z），
A B x （第22题答图）
y ??????????????????DB?(1,1,0)，DD1?(0,0,2)，则n?DB?0,n?DD1?0，即x?y?0,z?0． ??????????AD1?n10?|? ?1， 0)，sin??|cos?AD1,n?|?|????令x?1，则y??1，所以n?(1，，
10|AD1||n|
所以AD1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（2）设E(1，0，?)，0≤?≤2．
10．?????????? 106分
设平面EBD的法向量为n1?（x1，y1，z1），平面BDC1的法向量为n2?（x2，y2，z2），
????????DB?(1， 1， 0)， DE?(1，， 0 ?)，
????????由n1?DB?0，n1?DE?0，得x1?y1?0,x1??z1?0， ?????令z1?1，则x1???,y1??，n1?(??,?,1)，DC1?(0,1,2)， ?????????由n2?DB?0，n2?DC1?0，得x2?y2?0，y2?2z2?0， 令z2=1，则x2=2，y2=?2，n2?(2,?2,1)，cos?n1,n2??n1?n21?4??，
|n1||n2|32?2?1
所以31?4?AE1?．??????????? ?||，得??1．所以
2AA2332??1110分
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23．（本小题满分10分）
袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为Xn．
（1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)； （2）求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．
C1C1933当X2?3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P(X2?3)?1?1?；
C8C86411C1C1353C55C4当X2?4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P(X2?4)?11?11?；
C8C8C8C8641C155C4当X2?5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P(X2?5)?11?．??
C8C816解：（1）由题意可知X2?3，4，5．
3分
所以随机变量X2的概率分布如下表：
X2 P 3 9 644 35 645 5 16
9355267．???????????? 5分 ?4??5??64641664（2）设P(Xn?3+k)?pk，k?0，1，2，3，4，5．
则p0+p1+p2+p3+p4+p5?1，E(Xn)?3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5．
3544536P(Xn+1?3)?p0，P(Xn+1?4)?p0+p1，P(Xn+1?5)?p1+p2，P(Xn+1?6)?p2+p3，
88888882718P(Xn+1?7)?p3+p4，P(Xn+1?8)?p4+p5，
8888所以，E(Xn+1)
35445362718?3×p0+4×(p0+p1)+5×(p1+p2)+6×(p2+p3)+7×(p3+p4)+8×(p4+p5)
88888888888293643505764?p0+p1+p2+p3+p4+p5 8888887?(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p5 87?E(Xn)+1． 87由此可知，E(Xn+1)?8?(E(Xn)?8)．
835357又E(X1)?8??，所以E(Xn)?8?()n?1．??????????? 10分
888数学期望E(X2)?3?数学Ⅰ试卷 第20页（共20页）
