暴走御姐三．试确定以下两组应变状态能否存在(K,A,B为常数), 并说明为什么？
(1) (2)
?x?K(x2?y2),?y?Ky2,?xy?2Kxy (存在) ?x?Axy2,?y?Bx2y,?xy?0 (不存在)
四．计算题
1. 图中所示的矩形截面体，受力如图所示，试写出其边界条件。
解：主要边界条件，
x?b，?x?0;?xy?p
x??b，?x?q;?xy?0
次要边界条件，在y?0上，
(?xy)y?0?0，满足；
?
bb?b(?y)y?0dx??F
Fb ??b22.图中所示的矩形截面体，在o处受有集中力F和力矩M?Fb/2作用，试用应力函数??Ax3?Bx2求解图示问题的应力分量，设在A点的位移和转角均为零。
(?y)y?0xdx??
解：应用应力函数求解，
4
（1） 校核相容方程???0，满足 （2） 求应力分量，在无体力时，得
?y?6Ax?2B，?y??xy?0 考察主要边界条件，
x??b，?y??xy?0，均满足。 考察次要边界条件，在y?0上，
(?xy)y?0?0，满足；
F； ??b2bbFFbA??，得。 (?)xdx????byy?0228bb(?y)y?0dx??F，得B??代入，得应力的解答，
?y??F3x(1?)，?x??xy?0 2b2b4上述应力已满足了???0和全部边界条件，因而是上述问题的解。 3. 图中所示的悬臂梁，长度为l，高度为h，l??h，在边界上受均匀分布荷载q，试验应力函数
??Ay5?Bx2y3?Cy3?Dx2?Ex2y
能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。
4. 已知如图所示矩形截面柱，承受偏心荷载P 的作用。若应力函数??Ax?Bx，试求各应力分量。
32
解：（1）检验相容方程是否满足，由?(?)?0
4（2）求应力分量：
?x?0
?y?6Ax?2B
?xy?0
（3）由边界条件：y?h边，由圣维南原理可得：
?a?a(?y)y?hdx??p
可得：B??p/4a
?a?a(?y)y?0xdx??p?可得：A??a 2p 28a（4）应力分量为：
?x?0
?y??3ppx? 22a4a?xy?0
5. 试推导平面问题的y方向的平衡微分方程解：
??y?y???xy?x?fy?0
x
? ? xyyx? y ? x f C f x ? ? xy ? xy ? dx
?x ? ? x ? x ? dx
?x
yy ? ? yx ? yx ? dy ?y
? ? y? ? ?y
dy
y
以y轴为投影轴，列出投影平衡方程
?Fx?0；
(?y??(?xydy)dx??ydx?y
??xy?dx)dy??xydy?fydxdy?0?x??y约简之后，两边除以dxdy，得
??y?y???xy?x?fy?0
2、考虑上端固定，下端自由的一维杆件，见题七图，只受重力作用，
fx?0,fy??g（ρ为杆件密度，g为重力加速度），并设μ=0。
试用位移法求解杆件竖向位移及应力。（14分） （平面问题的平衡微分方程：位移分量表示的
应力分量表达式：σx?E?v?u(?)）
2(1?μ)?x?yE?u?vE?v?u(?μ)σ?(?μ)，，y221?μ?x?y1?μ?y?x?σy??xy?σx??yx，??fx?0??fy?0；用?x?y?y?xoxlρgτxy?解：据题意，设位移u=0，v=v(y)，按位移进行求解。
根据将用位移分量表示的应力分量代入平面问题的平衡微分方程，得到按位移求解平面应力问题的基本微分方程如下：
E?u1???u1???v(2??)?fx?0, 221???x2?y2?x?yE?2v1???2v1???2u(??)?fy?0. 1??2?y22?x22?x?y222y题七图
(a)
(b)
将相关量代入式(a)、(b)，可见(a) 式（第一式）自然满足，而(b) 式第二
?2v?g式成为2??
?yE可由此解出
?g2v??y?Ay?B. (c)
2E本题中，上下边的边界条件分别为位移边界条件和应力边界条件，且
(v)y?0?0,(?y)y?l?0
将(c)代入，可得B?0，A?反代回(c)，可求得位移：
?gEl
v??g2E(2ly?y2)
σy??g(l?y)
qx2?y3y?qy2?y3y????43?3?1??23??4、设有函数??， ???4?hh?5?hh??（1）判断该函数可否作为应力函数？（3分）
（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见题九图）中能解决什么问题（l >>h）。（15分）
解： ?4Φ?4Φ?4Φh/2（1）将φ代入相容方程4?222?4?0，显然满足。因此，该函数可以作为O?x?x?y?y应力函数。
h/2y题九图
x（2）应力分量的表达式：
?2?6qx2y4qy33qy?x?2?3?3?,3h?yhh?2?q?4y33y??y?2???3??1???2h?x?h? ?xy
?2?6qx?h22??????3??y??x?y4h???考察边界条件：在主要边界y＝±h/2上，应精确满足应力边界条件
??????yy??h2q?4y33y????3??1???q ?2?hh??y??h2yy?h2q?4y33y????3??1??0 ??2?hh?y?h2???xyy??h26qx?h22????3??y?0 ?4h???y??h2在次要边界x＝0上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：
