一个比较精细的正项级数判别法

一个比较精细的正项级数判别法

?摘要：本文用级数?n?31nlnpn做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的

判别法，笔者称之为“对数判别法”。

关键词：比较判别法 级数判别法的极限形式 拉格朗日中值定理 对数判别法

目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法，然而此判别法有时精确度仍

?然不够。以下本文就以级数?1pn?3nlnn做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应

用方便的判别法——“对数判别法”。

?我们先看级数?n?31nlnpn的敛散性：当p?1时级数收敛；当p?1时级数发散。这

个结论可用柯西积分判别法证明（具体证明请参见邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》），本文不再细述。

先考虑发散的情况。由比较判别法有：设数列{un}是正项数列，若n足够大时，有

unun?1?(n?1)ln(n?1)nlnn

?成立，则?un发散。

n?1为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”：

unun?1?(n?1)ln(n?1)nlnn?nun(n?1)un?1?1?ln(n?1)?lnnlnn，

由拉格朗日中值定理知，对任意n，存在?n?(n,n?1)，使得 ln(n?1)?lnn?1?n,

故

unun?1?(n?1)ln(n?1)nlnnnun(n?1)un?1??nlnn[nun(n?1)un?1?1]?1，

要使n足够大时有?nlnn[

?1]?1成立，只需

1

lim?nlnn[n??nun(n?1)un?1nun?1]?1，

而显然 limn???nn??1，故当 limnlnn[n??(n?1)un?1?1]?1时，?un发散。

n?1

收敛的情况可类似讨论：设数列{un}是正项数列，若存在p?1使得n足够大时，有

unn?1)]pu?(n?1)[ln(

n?1n(lnn)p?成立，则?un收敛。

n?1 因为

upppnnnu?(n?1)[ln(n?1)]n?1n(lnn)p?nu(n?1)u?1?ln(n?1)?lnn?1lnpn，

由拉格朗日中值定理知，对任意n，存在?n?(n,n?1),使得 ln(n?1)p?lnnp?p[ln?n]p?1?,

npp?1故

unu?(n?1)[ln(n?1)]n?p?1n?1n(lnn)p?nlnn[nu(n?1)u?1]?pn[ln?n]n?1n[lnn]，p?1要使n足够大时有 nlnn[nun(n?1)u?1]?pn[ln?n]p?1n?1?n[lnn] 成立，只需

limnlnn[nun?limpn[ln?n]p?1n??(n?1)u?1]n?1n???]p?1?p，

n[lnn若 limnlnn[nun1?sn??(n?1)u?1]?s?1，取p?2?1,就有

n?1 limnlnn[nun?1]?limpn[ln?pn]n??(n?1)un?1n???p

n[lnn]?p，?故当limnlnn[nunn??(n?1)u?1]?s?1时，?un收敛。

n?1n?1 综合上述，得到下面的定理

2

?定理（“对数判别法”）：设正项级数?un满足：

n?1limnlnn[nun?1]?s，

n??(n?1)un?1?则（1）当s>1时，?un收敛

n?1? （2）当s<1时，?un发散

n?1

参考文献：

《数学分析简明教程》，邓东皋、尹小玲编著，高等教育出版社，1999年6月 3