执笔*续写承诺
第七章 非参数回归模型与半参数回归模型
第一节 非参数回归与权函数法
一、非参数回归概念
前面介绍的回归模型，无论是线性回归还是非线性回归，其回归函数形式都是已知的，只是其中参数待定，所以可称为参数回归。参数回归的最大优点是回归结果可以外延，但其缺点也不可忽视，就是回归形式一旦固定，就比较呆板，往往拟合效果较差。另一类回归，非参数回归，则与参数回归正好相反。它的回归函数形式是不确定的，其结果外延困难，但拟合效果却比较好。
设Y是一维观测随机向量，X是m维随机自变量。在第四章我们曾引进过条件期望作回归函数，即称
g (X) = E (Y|X) （7.1.1）
为Y对X的回归函数。我们证明了这样的回归函数可使误差平方和最小，即
E[Y?E(Y|X)]2?minE[Y?L(X)]2
L （7.1.2）
这里L是关于X的一切函数类。当然，如果限定L是线性函数类，那么g (X)就是线性回归函数了。
细心的读者会在这里立即提出一个问题。既然对拟合函数类L(X)没有任何限制，那么可以使误差平方和等于0。实际上，你只要作一条折线(曲面)通过所有观测点(Yi，Xi)就可以了是的，对拟合函数类不作任何限制是完全没有意义的。正象世界上没有绝对的自由一样，我们实际上从来就没有说放弃对L(X)的一切限制。在下面要研究的具体非参数回归方法，不管是核函数法，最近邻法，样条法，小波法，实际都有参数选择问题(比如窗宽选择，平滑参数选择)。 所以我们知道，参数回归与非参数回归的区分是相对的。用一个多项式去拟合(Yi，Xi)，属于参数回归；用多个低次多项式去分段拟合(Yi，Xi)，叫样条回归，属于非参数回归。
二、权函数方法
非参数回归的基本方法有核函数法，最近邻函数法，样条函数法，小波函数法。这些方法尽管起源不一样，数学形式相距甚远，但都可以视为关于Yi的线性组合的某种权函数。也就是说，回归函数g (X)的估计gn(X)总可以表为下述形式：
gn(X)??Wi(X)Yi
i?1n （7.1.3）
1
其中｛Wi(X)｝称为权函数。这个表达式表明，gn(X)总是Yi的线性组合，一个Yi对应个Wi。不过Wi与Xi倒没有对应关系，Wi如何生成，也许不仅与Xi有关，而且可能与全体的｛Xi｝或部分的｛Xi｝有关，要视具体函数而定，所以Wi(X)写得更仔细一点应该是Wi(X；X1，?,Xn)。
??X?(X?这个权函数形式实际也包括了线性回归。如果Yi?Xi????i，则Xi??X)?1X?Y，也i是Yi的线性组合。
在一般实际问题中，权函数都满足下述条件：
Wi(X;X1,?,Xn)?0,?Wi(X;X1,?,Xn)?1
i?1n （7.1.4）
如果考虑在第五章介绍的配方回归与评估模型曾有类似条件，不妨称之为配方条件，并称满足配方条件的权函数为概率权。
下面我们结合具体回归函数看权函数的具体形式。 1．核函数法
选定Rm空间上的核函数K，一般取概率密度。如果取正交多项式则可能不满足配方条件。然后令
?X?XiWi(X;X1,?,Xn)?K??an?显然
?n?X?Xi??/????i?1?an??? ? （7.1.5）
?Wi?1ni?1。此时回归函数就是
?X?Xi??K??a?nnn??Y Y?g(X)??Wi(X)Yi??i n?X?Xi?i?1i?1??K??a?j?1n?? （7.1.6）
2．最近邻函数法
首先引进一个距离函数，用来衡量Rm空间中两点u = (u1，?，um) 和v= (v1，?，vm) 的距离‖u-v‖。可以选欧氏距离||u??||?2?(ui?1ni也可以选||u??||?max||ui??i||。??i)2，
1?i?n为了反映各分量的重要程度，可以引进权因子C1，?,Cn，使｛Ci｝也满足配方条件。然后将距离函数改进为
||u??||??Ci(ui??i)2
2i?1n
（7.1.7） （7.1.8）
|u??||2?maxCi|ui??i|
1?i?n
现在设有了样本(Yi，Xi)，i=1,?,n，并指定空间中之任一点X，我们来估计回归函数在该
2
点的值g(X)。将X1，?，Xn按在所选距离‖·‖意义下与X接近的程度排序：
||Xk1?X||?||Xk2?X||???||Xkn?X||
（7.1.9）
这表示点Xk1与X距离最近，就赋以权函数k1；与X距离次近的Xk2就赋予权函数k2。?，等等。这里的n个权函数k1,?,kn也满足配方条件，并且按从大到小排序，即
k1?k2???kn?0, ?ki?1
i?1n （7.1.10）
就是
Wki(X;X1,?,Xn)?ki, i ?1,?,n
（7.1.11）
若在｛‖Xi-X‖, i=1,?,n｝中有相等的，可将这n个相等的应该赋有的权取平均。比如若前两名相等，‖X1-X‖=‖X2-X‖, 就令W1 = W2=
这样最近邻回归函数就是
1(k1?k2)。 2nnY?g(X)??Wi(X;X1,?,Xn)Yi??kiYi??ki(X)Yi
i?1i?1i?1n （7.1.12）
ki尽管是n个常数，事先已选好，但到底排列次序如何与X有关，故可记为ki(X)。
三、权函数估计的矩相合性
首先解释矩相合性的概念。如果对样本 (Yi，Xi)，i=1,?,n构造了权函数Wi = Wi (X)=WI(X;X1,?,Xn)，有了回归函数g(X)的权函数估计gn(X)?(E|Y|r<∞)时，若
n?WYi?1ii，当Y的r阶矩存在
limE|gn(X)?g(X)|r?0
n?? （7.1.13）
则称这样的权函数为矩相合的权函数。
在什么样的条件下构造的权函数是矩相合的呢? Stone(1977)提出了很一般的，几乎是充分必要的条件。下面我们考虑其充分性条件，并限于考虑概率权。 定理7.1.1 设概率权｛Wi｝满足下述条件： (1)存在有限常数C，使对Rm上任何非负可测函数(连续函数与分段连续函数是最常见的可测函数)f, 必有
?n?E??Wif(Xi)??CEf(X) ?i?1?(2)?ε>0, 当n→∞时，
3
（7.1.14）
(3)当n→∞时，
PWI???0 ?i(||Xi?X||??)i?1n （7.1.15）
??0 maxWi?1?i?nP （7.1.16）
则｛Wi｝是矩相合的权函数。
定理条件可以作一些直观解释。条件(1)可以作如下理解，因为权函数是概率权，必有|Wi|<1，i=1,?,n。于是
nnn?n?E??Wif(Xi)??E?Wif(Xi)?E?f(Xi)?E?f(Xi)
i?1i?1i?1?i?1?（7.1.17）
这里取的是C=1。因此条件(1)可以说不叫做一个条件。条件(2)是说，与X的距离超过一定值
的那些Xi，对应算出来的权函数之和很小，也就是说，权函数的值主要取决于那些与X邻近的Xi的值。这个条件合理。条件(3)是说，当n越来越大时，各个权系数将越来越小，这也是合理的要求。
在证明本定理之前，先证两个引理。
引理7.1.1 设概率权函数｛Wi｝适合定理7.1.1的条件(1)及(2)，又对某个r, E|f(X)|r<∞，则
?nr?limE??Wi(X)f(Xi)?f(X)??0 n???i?1? （7.1.18）
证明 先设f在Rm上有界且一致连续，则任给ε>0，存在ε>0，当‖u-v‖?ε时，|f(u)-f(v)|
?(ε/2)1/r。于是
?W(X)f(X)?f(X)iii?1Xnr??2?(2M)r?W(X)Iii?1n(||Xi?X)?? （7.1.19）
其中M?supf(X)，此处X表示具体取值。由条件(2)，上式右边第二项依概率收敛于0且不大于1。依控制收敛定理有
?n?limE??Wi(X)I(||Xi?X)????0 n???i?1?故存在n0，使当n?n0时，有
（7.1.20）
?n?? E??Wi(X)I(|X|i?X)????
?i?1?2因此当n?n0时，有
（7.1.21）
4
?n? E??Wi(X)|f(Xi)?f(X)|r???
?i?1? （7.1.22）
于是对这种一致连续的f，引理得证。 证毕
2~~对一般的函数f，取一个在R上连续，且在一有界域之外为0的函数f，使Ef(X)??，
m
且Ef(X)?f(X)??，这里ε是事先指定的。因为
n~?n?r?r?1??E??Wi(X)f(Xi)?f(X)??3???Wi(X)|f(Xi)?f(X)|r??i?1????i?1~r~~??r?r?? ?E??Wi(X)|f(Xi)?f(Xi)|??E??Wi(X)|f(X)?f(X)|???i?1??i?1??nn （7.1.23）
r~右边括号里第三项等于Ef(X)?f(X)??；第一项根据条件(1)不超过r~~CEf(X)?f(X)?C?；因为f在Rm上有界且一致连续，由前面已证结果知当n→∞时，
第二项将趋于0。因此
?n?limE??Wi(X)|f(X)?f(Xi)|r??3r?1(C?1)? n???i?1?ε是任意的，故引理得证。
（7.1.24）
证毕
引理7.1.2 设｛Wi｝为满足定理7.1.1三个条件的概率权，函数f非负且Ef(X)??，则
?n2?limE??Wi(X)f(Xi)??0 n???i?1? （7.1.25）
证明 定义一组新的概率权函数Wi??Wi2，由于0?Wi?1, 故0?Wi??1。于是由引理7.1.1，有
?n2? limE??Wi(X)|f(X)?f(Xi)|??0
n???i?1?因为0?
（7.1.26）
?Wi?1n2i?1，由条件(3)知
5
