黄昏雨落一池秋
习题17—6
1．求下列微分方程的通解：
1（1）y???y?； （2）y???y??x；
x（3）yy???(y?)2?y2y??0； （4）y3y???1?0。 2．求下列微分方程满足所给初值条件的特解： （1）y???a(y?)2?0,y(0)?0,y?(0)??1(a?0)； （2）y???(y?)2?1,y(0)?0,y?(0)?0； （3）(1?x2)y???2xy?,y(0)?1,y?(0)?3。
3．设有一质量为m的物体，在空气中由静止开始下落，如果空气阻力为R?k2v2，其中v为物体运动速度，k为一常数，试求物体下落的距离s与时间t的函数关系。
习题17—8
1．求下列各微分方程的通解： （1）y???9y??20y?0； （3）y???7y??12y?5； （5）y???a2y?ex；
（7）y???3y??2y?3xe?x；
（2）y????y?0； （4）2y???y??y?2ex； （6）2y???5y??5x2?2x?1； （8）y???2y??5y?exsin2x；
（9）y???y?ex?cosx； （10）y???y?(2x2?3)?4sinx。 2．求下列各微分方程满足已给定初始条件的特解： （1）y???2y??y?e?x，y(0)?0,y?(0)?0； （2）y???3y??2y?e3x,y(0)?1,y?(0)?0； （3）y???y??sin2x,y(?)?1,y?(?)?1；
（4）y????3y???3y??y?1,y(0)?y?(0)?y??(0)?0。
习题17—9
求下列Euler方程的通解： 1．x2y???xy??y?0； 3．x2y???xy??2y?xlnx；
2. x2y???4xy??6y?x
4. x3y????2xy??2y?x2lnx?3x。
习题18—1
1．用数列极限的定义证明：
(?1)n?11?0； （1）lim（2）lim(1?n)?1；
n??n??n103n2n2?4（3）limn???3；
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（4）limn23n9n3?72．用数列极限的定义证明数列{(?1)n}发散。
n???0；
（5）limn??2n?1?0；
（6）limqn?0(|q|?1)。
n??3．设a?0，用数列极限的定义证明极限limna?1。
n??4．用数列极限的定义证明数列极限的夹逼准则。
5．下述几种说法与数列{un}极限是A的定义是否等价，并说明理由。
（1）对于任意给定的??0，存在正整数N，使得当n?N时，有|un?A|??； （2）存在正整数N，对任意给定的??0，使得当n?N时，有|un?A|??； （3）对于任意给定??0，存在实数M，使得当n?M时，有|un?A|??； （4）对于0???1，存在正整数N，使得当n?N时，有|un?A|??；
（5）对于任意给定的??0，有正整数N使得当n?N时，有|un?A|?K??，其中K是与?无关的常数；
1（6）对于任意给定的正整数m，都有正整数N，使得当n?N时，有|un?A|?。
m
习题18—2
1．用??X,???语言表述函数极限或无穷大的定义。填写下表： x?x0 ? x?x0? x?x0f(x)?A ???0,???0，使得当f(x)?? f(x)??? f(x)??? 0?|x?x0|??时，有|f(x)?A|?? ?M?0,?X?0使得当|x|?X时，有|f(x)|?M x?? x??? x??? 2．用函数极限的定义证明： 2x?12（1）lim?；
x??3x?13（2）limx??2 x2?1x?ax?1x4?1?4； （4）limcosx?cos?； （5）lim（6）limex?0。
x?1x?1x???x??3．用函数极限的定义证明下列命题：
（1）如果limf(x)?A,limg(x)?B，则lim[f(x)?g(x)]?A?B；
x?x0x?x0x?x0?1； （3）limx?a(a?0)；
（2）如果limf(x)?A,limg(x)?B,(B?0)，则
x??x?? 47
x??limf(x)A?。 g(x)B4．用H ine定理证明函数极限的四则运算法则。 5．证明极限limxsinx不存在。
x???
习题19—1
1．写出以下各数集的上、下确界： （1）E?{x|a?x?b}；
?1?.???x???（2）E???； 2?1?x???n?n?1,2,??； （4）E?{正无理数}。 （3）E??1?nsin2??2．设函数f(x)在D上有界，证明：
sup{?f(x)}??inf{f(x)}
x?Dx?D3．若{xn}是一个无界数列，证明：存在子列{xnk}，使得xnk??(k??)。 4．设{xn}是发散的有界数列，证明：存在两个子列{xnk}与{xmk}，分别收敛于不同的极限。
5．用有限覆盖定理证明区间套定理。 6．用区间套定理证明上确界存在原理。
7．证明单调有界函数的间断点是第一类间断点。
习题19—2
1．若f(x)在[a,??)上连续，且limf(x)存在，证明：f(x)在[a,??)上有界。
x???2．设f(x)在(a,b)上连续，又limf(x)?A,limf(x)?B，且A?B，则???(A,B)，??x?ax?b?x0?(a,b)，使得f(x0)??。
3．设f(x)在[a,b]上连续，如果xn?[a,b]，数列{xn}收敛，且limf(xn)??，证明：
x????x0?(a,b)，使得f(x0)??。
4．用一致连续定义验证
（1）y?x2在[0,2]上一致连续；
（2）y?x?sinx在(??,??)上一致连续。
5．若f(x)在[a,??)上连续，limf(x)?A，证明：f(x)在(a,??)上一致连续。
x???
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习题20—1
?1(x为有理数) f(x)???1(x为无理数)?证明：|f(x)|在任意区间[a,b]上可积，而f(x)在[a,b]上不可积。
1．设
2．讨论下面的函数在相应区间上是否可积。
x?[a,b]； （1）f(x)?[x]?0?（2）f(x)??1??n(x?0)(11?x?)n?1nx?[0,1]；
（3）f(x)在[?2,2]上有界，它的不连续点是
1 （n=1，2，?） n?11??[](0?x?1)3．已知f(x)??x，证明：f(x)在[0，1]上可积。 x?(x?0)?0
习题20—2
1．下列函数在指定的区间上是否可只？
（1）f(x)?1x(|x|?1)；
1?x(?x?1)?2?11?（2）f(x)??1?x(??x?)；
22?1?1(?1?x??)?2?(x?0)?0?1（3）f(x)??； （4）f(x)?sgn(sinx)(0?x??)；
(0?x?1)??x（5）f(x)?max{?(x),?(x)},a?x?b，其中?(x)和?(x)都是[a,b]上的连续函数； （6）f?(x)?max{f(x),0},f?(x)??min{f(x),0},a?x?b，其中f(x)是[a,b]上的连续函数。
2．设函数f(x)在[a,b]上可积，函数g(x)与f(x)只在有限多个点上不相等。证明：函数g(x)在[a,b]上也可积，并且
?bag(x)dx??baf(x)dx。
3．讨论闭区间[a,b]上的函数f(x),|f(x)|,f2(x)三者之间可积性的关系。
习题21—1
1．若级数
?un?1?n收敛，将其各项重排，使每一项离开原来位置不超过m个位置（m是
项先指定的正整数），则新级数与原级数的和相同。
2．利用公式
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111?????C?lnn??， 23n其中，C是常数，?n?0(n??)，证明：
11111111111?????????????0。
246831012141653．设将级数
11111111 1?2?2?2?2?2?2?2?2??
2436851012的各项重新排列成下述级数
11111 1?2?2?2?2?2??
23456?n分别表示级数（1）和（2）的前3n项部分和与前2n项部分和。 令S3n与S2S证明 lim3n?1。
x??S?2n
1? （1）
（2）
习题21—2
1．设函数序列{un(x)},un(x)?一致收敛。
2．证明：级数
?x2(1?x2)，验证级数
?un?1?n(x)在区间[0，1]上收敛但不
?xn?112?n2在区间(??,??)上一致收敛。
习题21—3
1．求级数2?x?2x2?x3?3x4??的和函数。 2．求级数
??n?0xn的和函数。 2?3n习题22—1
1．判别下列广义积分的收敛性：
??dx（1）； （2）
321xx?12dx（3）； （4）
1(lnx)32．用??函数或B?函数表示下列积分：
?????1xmdx； 1?x??01sinxdx。
（1）（3）
????010xne?hdx1?x22xdx(h?0,n?0)；
（2）
???0e?xdx(n?0)
n1/4。
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