冰蓝梦境《高等数学》（微积分）教案
（1）xn?（3）xn?解：（1）xn?1n?1x? （2） nn?1n21 n(?3) （4）xn?4
1111的项依次为1，，，……，当n无限增大时，xn无限接近于0， n?124821 所以 limn?1=0
x??2n?1345 （2）xn?的项依次为2，，，……，当n无限增大时，xn无限接近于1，
n234n?1 所以lim?=1；
x??n （3）xn?1111??的项依次为，，，……，当n无限增大时，xn无限接近于0， 3927(?3)n 所以lim?x??1=0； n(?3)n?? （4）xn?4为常数数列，无论n取怎样的正整数，xn始终为4，所以lim4?4.
（二）函数的极限
1、当x??时，函数y?f(x)的极限 （1）当x??时，函数y?f(x)的极限
设函数y?f(x)在x?a时有定义（a?0），如果当自变量x的绝对值无限增大时，函数y?f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为当x??时，函数
y?f(x)的极限，记作limf?x??A（或当x??时，f(x)?A）.
x??（2）当x???时，函数y?f(x)的极限
设函数y?f(x)在x?a时有定义（a?0），如果当自变量x无限增大时，函数y?f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为当x???时，函数y?f(x)的极限，记作limf?x??A（或当x???时，f(x)?A）
x???（3）当x???时，函数y?f(x)的极限
设函数y?f(x)在x??a时有定义（a?0），如果x?0且x无限增大时，函数y?f(x) 11
《高等数学》（微积分）教案
无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为当x???时，函数y?f(x)的极限，记作limf?x??A（或当x???时，f(x)?A）
x???（4）定理：limf(x)?A的充要条件是limf(x)?limf(x)?A.
x??x???x??? 说明：只有当limf(x)与limf(x)都存在且相等时limf(x)才存在。
x???x???x??【例2】 讨论下列函数当x??时的极限.
1； （2）y?2x ； （3）y?arctanx. x11解：（1）当x无限增大时，无限接近于0， 所以lim=0；
x??xx （1）y? （2）lim2???，lim2?0， 所以lim2不存在.
x???x???x??xxx （3）limarctanx?x????2，limarctanx??x????2，所以limarctanx不存在.
x??2、当x?x0时，函数y?f(x)的极限 （1）当x?x0时，函数y?f(x)的极限
设函数y?f(x)在x0的某去心邻域N(x0,?)内有定义，如果当x无限趋近于x0时，
f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为当x?x0时函数f(x)的极限，记
0作limf?x??A或当x?x0，f(x)?A
x?x0??（2）当x?x0 及x?x0时，函数y?f(x)的极限
设函数y?f(x)在（x0??,x0）（或（x0,x0??））内有定义，若当自变量x从x0的左（右）近旁无限接近于x0，记作x?x0（x?x0）时，函数y?f(x)无限接近于
f(x)?A或一个确定的常数A，则称常数A为x?x0时的左（右）极限，记作lim?x?x0??f(x0?0)?A，il（mx?x0x?x0?f(x)?A或f(x0?0)?A）.
x?x0x?x0f(x)?limf(x)?A. （3）定理 limf(x)?A的充要条件是lim?? 说明：定义中并不要求f(x)在点x0处有定义；
f(x)与limf(x)都存在且相等 limf(x)存在当且仅当lim??x?x0x?x0x?x0 例如：函数y?2x，当x从1的左、右两旁无限趋近于1时，曲线y?2x上的点M与M＇都
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《高等数学》（微积分）教案
无限接近于点N(1,2)，即函数y?2x的值无限接近于常数2，所以lim2?2.
x?1x
x2?1【例3】 考察当x??1时，函数y?的变化趋势，并求x??1时的极限.
x?1x2?1?x?1(x??1)的图形可知，当x从左、右两旁同时无限趋近于-1时， 解： 从函数y?x?1x2?1?x?1(x??1)的值无限趋近于常数?2， 函数y?x?1x2?1?lim?x?1???2. 所以limx??1x?1x??1【例4】讨论下列函数当x?0时的极限.
?1?（1）f(x)?sgn(x)??0??1?x?0x?0x?0?x?1x?0x?0； （2）f(x)??.
1?xx?0?x?0x?0x?0sgn(x)?lim1?1，limsgn(x)?lim(?1)??1， 解：（1）因为lim???? 所以 limsgn(x)不存在.
x?0f(x)?lim(x?1)?1，limf(x)?lim(1?x)?1， （2）因为lim????x?0x?0x?0x?0 所以 limf(x)?1.
x?0
13 《高等数学》（微积分）教案
【教学内容】§1.3 极限的运算 两个重要极限 【教学目的】理解并掌握极限的概念与运算 【教学重点】极限的概念与运算 【教学难点】极限概念的理解及运算 【教学时数】2学时 【教学过程】
一、组织教学，引入新课 二、讲授新课
（一）极限的四则运算 1、极限的四则运算
定理：设limf(x)?A，limg(x)?B,则
x?x0x?x0（1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?A?B；
x?x0x?x0x?x0（2）limC?f(x)?C?limf(x)?CA，（C为常数）；
x?x0x?x0（3）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?A?B；
x?x0x?x0x?x0limf(x)f(x)x?x0A（4）lim??(B?0)
x?x0g(x)limg(x)Bx?x0说明：（1）上述运算法则对于x??时的情形也是成立的
（2）法则(1)与(3)可以推广到有限个具有极限的函数的情形. （3）对于数列极限也是有类似的四则运算法则.
【例5】 求下列极限
2x2?3x?2（1）lim(x?2x?3)； （2）lim
x?1x?2x?12【例6】 求下列极限
13x2?4?). （1）lim； （2）lim(x?11?xx?2x?21?x3【例7】求下列函数极限.
3x2?4x?52x2?x?3（1）lim； （2）lim3.
x??4x2?x?2x??3x?2x2?1
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《高等数学》（微积分）教案
sinx?1
x?0xsinx1、列表考察当x?0时，的变化趋势.
x（二）重要极限limx sinx x?1 ?0.5 ?0.1 ?0.01 ?0.001 ??0 0.8414709 0.9588511 0.9983342 0.9999833 0.9999998 ??1 sinx的值无限趋近于1， x 从上表可以看出，当x?0时， 所以limsinx?1
x?0x说明：极限的正确性可用极限存在准则证明
02、特点：型
0 limsin?(x)?1
x?x0?(x)(x??)【例1】求下列极限
sin2x1； （2）limxsin.
x?0x??3xxtanx?1. 【例2】证明：limx?0xsinx1sinx1tanx?)=lim?lim 证： lim=lim(=1
x?0x?0x?0x?0xxcosxxcosx（1）lim【例3】 求下列极限
sin5x1?cosxsinxlimlim； （2）； （3）.
x?0x?0tan3xx????xx2xxx2sin2sinsin1?cosx2?lim1?2?2?1 解：（1）lim?limx?0x?0x?02xx2x2x222sin5xsin5xlim5?sin5x5x=5x?05x=5 （2）lim=limx?0tan3xx?0tan3x3tan3x33?limx?03x3xsinxsin(??x) （3）lim=lim=1
??x?0x????x??x1x（三）重要极限lim(1?)?e
x??x11、列表考察当x??时，函数(1?)x的变化趋势.
x （1）lim
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