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??证明：由于(?????1x2ex?p()dx)?1所以
22?x2ex?p()dx)2?2?,所以，?2????x2(?ex?p()dx)2?2? 即已经证明。 ??22、一维连续随机变量，一重积分、二重积分的问题
??0 例1.密度函数f(x)??
???x?1 求：P（x<2）
解：由于f(x)在x<2 为分段函数，故所以概率必须分段来求。显然，在（-2，-1）和（1，2）上f(x）取值为0，在（-1，0）上f（x）取值为x+1，在（0，1）上f(x)取
?1值
0为
1-x+1
20，
1则：
P(x?2)??0dx??(x?1)dx??(?x?1)dx??0dx??(x?1)dx??(?x?1)dx?1对于
?2?101?10这个问题的解答，以上计算方法还显得有些复杂，我们还可以利用定积分的几何意义，曲线y=f(x）在x 轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和。
依前面的分析可知，所求概率其实就是三角形的面积，而三角形的面积很容易求出，S=1，即P（x<2）=1。以二维连续型随机变量计算公式和数学分析中二重积分可以知道计算二重积分的步骤：（1 画出积分区域D 的图形，（2）判定D 的类型（X 型或Y型），确定积分顺序， （3）把二重积分化为二次积分，正确写出积分上下限，（4）计算二次积分得到二重积分值。注：计算时可以考虑积分区域的对称性，二重积分的性质可以类比一重积分的性质进行推广。显然，求联合分布函数、边际分布函数就是求一变上限函数，求某一概率就是求一二重积分。故可以模仿二重积分的计算步骤。首先需要画出概率密度函数的非零积分区域、确定类型和积分范围，然后按积分范围内函数取值分段积分。 3、用随机变量证明积分不等式
设ξ 是一随机变量，取值于区间（a，b），-∞≤a＜b≤+∞，y =f（x），x∈（a，b），是连续的下凸函数，如果Eξ 和Ef（ξ）存在，则f（Eξ）≤Ef（ξ），若在（a，b）上为连续的上凸函数，则f（Eξ）≥Ef（ξ）。 例1：求证，当f(x)为[a,b]上的连续的下凸函数时，f(a?b1b)?f(x)dx ?a2b?a
a?b1b)?f(x)dx 当（f x）为≥a，b ≥上的连续的上凸函数时f(2b?a?a?1,a?x?b?证明：设连续型随机变量ξ 的密度函数为p(x)??b?a,则
??01a?bdx?
??ab?a2??b11bdx?f(x)dx 而Ef(?)?f(x)xp(x)dx??f(x)???aab?ab?aEf(?)??xp(x)dx??x??b由前叙可知，当f（x）为[a,b]上的下凸函数时，Ef（ξ）≤Ef（ξ），即：
a?b1bf()?f(x)dx 当f（x）为[a,b]上的凸函数时，E（f ξ）≥E（f ξ），
2b?a?aa?b1bf()?f(x)dx 即?a2b?a这两个不等式是数学分析中的两个重要积分不等式。
4、利用特征函数求被积函数中含有三角函数的广义积分问题
对于被积函数含有三角函数形式的广义积分，我们可以借助概率论中特征函数的知识来判断积分的敛散性，进而进行求值计算。
定理：设X 为服从概率密度为f（x）的随机变量，其特征函数为φ（t）[2]为常数，
Eei?x?Ee?i?x1?[?(?)??(??)] 则有：广义积分?cos?xf(x)dx???22??Eei?x?Ee?i?x1?[?(?)??(??)] ???sin?xf(x)dx?22i?? 在以上几例中，我们运用概率论的知识对积分相关方面的问题进行求解，旨在提供一种思考的方法，说明概率论与积分两门学科的知识是可以互相结合的，从本文实例中也可以看出，用概率论的方法来解决初等代数、数学分析中的一些问题，具有有效、简洁、优越的特点.
概率论是数学的一个重要分支，它是从数量侧面研究随机现象规律性的数学学科，它有自己独特的概念和方法进行证明，内容丰富，应用广泛。它既有严密的数学基础，又与各学科紧密联系。在自然科学、社会科学、管理科学、技术科学和工农业生产等各个学科和领域都得到了广泛的应用。不等式是数学中一项极为重要的内容，它的证明方法很多，但是采用不同的渠道，可以收到不同的效果。通过对上述不等式的证明得出，利用概率论的方法证明不等式，关键在于抓住不等式的特点，构造一个与之相应的概率模型，再结合概率论中的基本定理及性质，可以使不等式的证明过程变得非常简捷。因此，概率论方法是解决不等式证明的一项行之有效的
手段。
参考文献：
[1]第23 卷第6 期 2009 年11 月 甘肃联合大学学报( 自然科学版) 概率论的思想方法在证明数学不等式中的应用 姚志健 [2]第13 卷第6 期 铜仁学院学报 2011 年 11 月
学习《概率论与数理统计》应该注意的若干问题（6） ——极限性质及其应用 许道云，秦永彬，刘长云
[3]一类概率不等式及其应用 张玉春1 , 曾梦涵2 Vol. 13, No . 1 Jan. , 2010 高等数学研究 [4]第32 卷第6 期 聂世谦，崔小朝
[5]2009 年10 月 第5 期（总第25 期）天津市经理学院学报 概率论在积分中的应用 吕中起
