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考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题． 分析： ①由同角的余角相等，可得∠EBD=∠GAE，由正方形的性质知，AO=BO，∠AOB=∠BOE，则ASA证得△AFO≌△BEO，可得OE=OF． ②作出图示，思路与①同，易得△AFO≌△BEO，可得OE=OF． 解答： ①证明：在正方形ABCD中AO=BO，∠AOB=∠BOE， 又∵AG⊥BE， ∴∠GAE+∠BEA=90°，∠EBD+∠AEB=90°． ∴∠EBD=∠GAE． ∴△AOF≌△BOE． ∴OE=OF． ②解：OE=OF仍成立． 在正方形ABCD中AO=BO，∠AOB=∠BOE， 又∵AG⊥BE， ∴∠GAE+∠BEA=90°，∠EBD+∠AEB=90°． ∴∠EBD=∠GAE． 又∵∠AOF=∠BOE， ∴△AOF≌△BOE． ∴OE=OF． 点评： 解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率． 30．如图①，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC于点G．
（1）求证：AF=FG； （2）如图②，连接EG，当BG=3，DE=2时，求EG的长．
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考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 压轴题． 分析： （1）连接CF，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABF=∠CBF=45°，然后利用“边角边”证明△ABF和△CBF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CF，全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠BCF，再根据四边形的内角和定理与平角的定义求出∠BAF=∠CGF，然后求出∠CGF=∠BCF，根据等角对等边可得CF=FG，从而得证； （2）把△ADE顺时针旋转90°得到△ABH，根据旋转的性质可得AH=AE，BH=DE，∠BAH=∠DAE，然后求出∠EAG=∠HAG，再利用“边角边”证明△AHG和△AEG全等，根据全等三角形对应边相等可得HG=EG，然后代入数据进行计算即可得解． 解答： （1）证明：如图①，连接CF， 在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABF=∠CBF=45°， 在△ABF和△CBF中，， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴AF=CF，∠BAF=∠BCF， ∵FG⊥AE， ∴在四边形ABGF中，∠BAF+∠BGF=360°﹣90°﹣90°=180°， 又∵∠BGF+∠CGF=180°， ∴∠BAF=∠CGF， ∴∠CGF=∠BCF， ∴CF=FG， ∴AF=FG； （2）如图②，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABH，则AH=AE，BH=DE，∠BAH=∠DAE， ∵AF=FG，FG⊥AE， ∴△AFG是等腰直角三角形， ∴∠EAG=45°， ∴∠HAG=∠BAG+∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠EAG=∠HAG， 在△AHG和△AEG中，∴△AHG≌△AEG（SAS）， ∴HG=EG， ∵HG=BH+BG=DE+BG=2+3=5， ∴EG=5．
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www.jyeoo.com 点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，综合题，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形是解题的关键． ?2010-2014 菁优网
