授之温存收敛区间为??2,2?
? 21．求幂级数?1nnx的收敛区间。
n?1n?31解:
??liman?11?3n?1n??a?lim?n?
nn??1?13, n3n
R?1??3
收敛区间为(-3, 3)
四、解下列各题题
1． 利用柱面坐标计算三重积分 ???zdxdydz，其中?是由曲面z?x2?y2?与平面z?4所围成的闭区域。
解:
?:0???2?,0???2,?2?z?4
???zdxdydz??2?240d??0d???2z?dz
? =12?242?0d??0??16???d?
=
643?
2． 利用柱面坐标计算三重积分 ???zdxdydz，
?其中闭区域?为半球体x2?y2?z2?1,z?0. 解:
?在xoy平面内的投影区域为D:x2?y2?1，
用柱面坐标可表示为
11
?:0???2?,2?0???1,10?z?1??21??12
2 ????zdxdydz??0d??d??00z?dz???0??1???dz
?1?????22??????44?01421
23．． 利用柱面坐标计算三重积分 ???x?ydxdydz，其中?是由曲面z?9?x2?y2
?与平面z?0所围成的闭区域。
解:
?:0???2?,0???3,0?z?9??2 ???x2?y2dxdydz??2?39??20d??0d??0???dz
? =?2?320d??0??9??2?d??3245?
4． 计算曲线积分??x2?y?dx??x?y2?dy，其中L是在圆周y?2x?x2上由
L 点O（0，0）到点A（1，1）的一段弧。
解: Q???x?y2?,P?x2?y
?Q?P?x??y??1, 曲线积分与路径无关，
??x2?y?dx??x?y2?dy???x2?y?dx??x?y2?dy
L??OA =?10[(x2?x)?(x?x2)]dx ( y=x ,
0?x?1
)
1 =?(?2x)dx = - 1
0 5．计算曲线积分??x2?y?dx??x?y2?dy，其中L是在圆周y?2x?x2上由
L 点O（0，0）到点A（2，0）的一段弧。
解：
Q???x?y2?,P?x2?y
12
?Q?x??P?y??1, 曲线积分与路径无关，
??x2?y?dx??x?y2?dy??x2?y?dx??x?y2?dy
L???OA =?20x2dx ( y=0,
0?x?2 )
?83
6． 计算曲线积分??x2?y?dx??x?y?dy，其中L是在圆周y?2x?x2上由L 点A（2，0）到点0（0，0）的一段弧。
解:
Q???x?y2?,P?x2?y
?Q?P?x??y??1, 曲线积分与路径无关，
??x2?y?dx??x?y2?dy??x2?y?dx??x?y2?dy
L???AO =?02x2dx ( y=0 , x由2到0)
= ?83.
?7． 判别级数???1?n1n?2lnn 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？
解: 记 u1n?lnn, 则
un?1lnn?1ln?n?1??un?1(n?2,3,?,n,?)
且
limu?lim1lnn?0n??nn??
n 由莱布尼兹定理, 级数???1?1lnn收敛
又?11lnn?n,而级数??1发散,由比较判别法可知
n?2n13
级数???1发散,从而级数???1?n1n?2lnnn?2lnn为条件收敛
? 8．判别级数???1?nln??1?1?n?2?n? 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？ ?ln??1?1? 解： 记u?1?n?ln?1??lim?n???n??， n??1?1 n 而???11?1?n?1n发散，所以?ln??n?1?n?发散 ? 又?un?ln??1?1??n??ln???1?1??n?1??u?n?1
(n?1,2,3,??)
且
limu?1?n?limln?1???0， n??n???n? 由莱布尼兹定理知
????1?n?1ln??1?1?
n?1?n?收敛且为条件收敛. ??9． 判别级数???1?nln(1?!)n2 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？n?2解:
(?1)n?1ln1(?1n2)?ln1(?1n2)
ln(1?1?limn2)n??1?1
n2 级数??ln(1?1
n?2n2)收收敛，从而级数????1?nln(1?1n2)为绝对收敛.
n?2
14
10 计算I???x?y2d?, 其中D:?1?y?1,0?x?1. ??11?D?15?
?11. 计算I???x2?y2?2d?, 其中D:x2?y2?3. ??5??D?2?
?12. 求由锥面z2?x2?y2与圆柱面x2?y2?ax?a?0?所围成的立体的体积. ??83?9a?
??
五．应用题
1．将周长为2p的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体，问矩形的
边长各为多少时，所得圆柱体的体积为最大？
解. 目标函数：V??x2y，附加条件：x?y?p
L?x,y???x2y???x?y?p?
?LX?2?xy???0解方程组：??Ly??x2???0
??x?y?p得唯一可能极值点：x?23p,y?13p
故当矩形的边长分别为
23p和
13p时，绕短边旋转所得到园柱
体的体积最大，且其体积为V?427?p3
2．从斜边之长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的
直角三角形.
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解： 设直角三角形的两直角边分别为x和y，问题化为求
A?x?y?l在条件x2?y2?l?y2下的最大值问题。
?l2 设L?x,y??x?
y?l??x?22? …………………...2分
?LX?1?2x??0解方程组??Ly?1?2y??0
?x2?y2?l2?x?y?22 得 ……………………………….5分
22l 故可知当两直角边都等于
时直角三角形的周长最
大。 …………………………………..7分
3.. 求原点到曲面?x?y??z?1上点的最短距离.
224. 证明: 曲面xyz?a3上任一点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积
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