浅夏殇琉璃第5章 函数
习题5
1.设A＝{1，2，3}，B＝{a，b，c}，确定下列关系是否为从A到B的函数，为什么？如果是函数，是单射、满射还是双射，并指出其定义域和值域。
(1){<1，a>，<2，a>，<3，c>}。 (2){<1，c>，<2，a>，<3，b>}。 (3){<1，a>，<1，b>，<3，c>}。 (4){<1，b>，<2，b>，<3，b>}。
解 (1){<1，a>，<2，a>，<3，c>}的定义域为A，值域为{a，c}。又由于它满足单值性，所以它是函数，但因为1和2都对应a，它不是单射，{a，c}≠B，它不是满射。
(2){<1，c>，<2，a>，<3，b>}的定义域为A，值域是B。又由于它满足单值性，所以它是函数，且是单射。满射和双射。
(3){<1，a>，<1，b>，<3，c>}的定义域为A，值域是B。由于它不满足单值性，所以它不是函数，更不是单射、满射和双射。
(4){<1，b>，<2，b>，<3，b>}的定义域为A，值域是{b}。由于它满足单值性，所以它是函数，因为1、2和3都对应b，所以它不是单射，由于{b}≠B，所以它不是满射。
2.完成定理5.2中未给出的证明。 证明 (1)因为
y∈f(A1∪A2)??x(x∈A1∪A2∧f(x)＝y)
??x((x∈A1∨x∈A2)∧(f(x)＝y))
??x((x∈A1∧(f(x)＝y))∨(x∈A2∧(f(x)＝y)) ??x(x∈A1∧(f(x)＝y))∨?x(x∈A2∧(f(x)＝y)) ?y∈f(A1)∨y∈f(A2) ?y∈f(A1)∪f(A2)
所以，f(A1∪A2)＝f(A1)∪f(A2)。 (3) 因为
y∈f(A1－A2)??x(x∈A1－A2∧f(x)＝y)
??x(x∈A1∧x?A2∧f(x)＝y)
??x(x∈A1∧∧f(x)＝y)∧?x(x?A2∧f(x)＝y) ?y∈f(A1)∧y?f(A2) ?y∈f(A1)－f(A2)
所以，f(A1－A2)?f(A1)－f(A2)。
1
第5章 函数
(4)因为
x∈f－1(B1∪B2)?x∈A∧f(x)∈B1∪B2
?x∈A∧(f(x)∈B1∨f(x)∈B2)
?(x∈A∧f(x)∈B1)∨(x∈A∧f(x)∈B2) ?x∈f(B1)∨x∈f(B2)
－1
－1
?x∈f(B1)∪f(B2)
－1
－1
所以，f(B1∪B2)＝f(B1)∪f(B2)。 (5) 因为
－1－1－1
x∈f－1(B1∩B2)?x∈A∧f(x)∈B1∩B2
?x∈A∧(f(x)∈B1∧f(x)∈B2)
?(x∈A∧f(x)∈B1) ∧(x∈A∧f(x)∈B2) ?x∈f(B1)∧x∈f(B2)
－1
－1
?x∈f(B1)∩f(B2)
－1
－1
所以，f(B1∩B2)＝f(B1)∩f(B2)。 (6)因为
－1－1－1
x∈f－1(B1－B2)?x∈A∧f(x)∈B1－B2
?x∈A∧(f(x)∈B1∧f(x)?B2)
?(x∈A∧f(x)∈B1) ∧(x∈A∧f(x)?B2) ?x∈f(B1)∧x?f(B2)
－1
－1
?x∈f(B1)－f(B2)
－1
－1
所以，f(B1－B2)＝f(B1)－f(B2)。 (7)因为
－1－1－1
x∈A1?f(x)∈f(A1)
?x∈f(f(A1))
－1
所以，A1?f(f(A1))。 (8) 因为
－1
y∈f(f－1(B1))??x(x∈f－1(B1)∧f(x)＝y)
??x(x∈A∧f(x)∈B1∧f(x)＝y) ?y∈B1
所以，f(f(B1))?B1。
3.令X＝{x1，x2，?，xm}，Y＝{y1，y2，?，yn}。问 (1)有多少个不同的由X到Y的函数？
2
－1
第5章 函数
(2)当n、m满足什么条件时，存在单射，且有多少个不同的单射？ (3)当n、m满足什么条件时，存在满射，且有多少个不同的满射？ (4)当n、m满足什么条件时，存在双射，且有多少个不同的双射？
解 (1)由于对X中每个元素可以取Y中任一元素与其对应，每个元素有n种取法，所以不同的函数共nm个。
(2)显然当|m|≤|n|时，存在单射。由于在Y中任选m个元素的任一全排列都形成X到Y的不同的单
m射，故不同的单射有Cnm!＝n(n－1)(n―m―1)个。
(3)显然当|n|≤|m|时，存在满射。这一问题等价于“先把m个有区别的球放入n个相同的盒子中，要求无一盒子空(这一不同的方案数记为：S(m，n))”，再把这n个盒子进行不同的排列(假定盒子有区别)，其总数为所求的满射数。即所求的不同的满射有S(m，n)n!。其中，S(m，n)满足：
S(m，0)＝0；S(m，1)＝1；S(m，n)＝nS(m－1，n)＋S(m－1，n－1)。
(4)显然当|m|＝|n|时，才存在双射。此时Y中元素的任一不同的全排列都形成X到Y的不同的双射，故不同的双射有m!个。
4.设f：N×N?N，f(
5.设f、g和h是Z到Z的函数，Z是整数集，f(z)＝3z，g(z)＝3z＋1，h(z)＝3z＋2，求f?g，g?h。 解 因为f?g(x)＝f(g(x))＝f(3x＋1)＝3(3x＋1)＝9x＋3，g?h(x)＝g(h(x))＝g(3x＋2)＝3(3x＋2)＋1＝9x＋7，所以f?g＝{
6.设函数f：R×R?R×R，f定义为：f(
(4)求复合函数f?f和f?f。
证明 (1)对任意的x，y，x1，y1∈R，若f(
(2)对任意的
(3)f(
－1－1
－1－1
－1
－1
u?wu?wu?wu?wu?wu?w
，y＝，则f(
u?wu?w
，>。 22
－1
－1
(4)f?f(
3
x?y?x?yx?y?(x?y)，>＝
22第5章 函数
f?f(
证明 (1)对任意的n1、n2∈N，若n1≠n2，则n1＋1≠n2＋1，即f(n1)≠f(n2)，所以f是单射。由于0没有原像，所以f不是满射。
(2)对任意的n，则g(n＋1)＝max{0，n＋1－1}＝n，所以g是满射。由于g(0)＝g(1)＝0，所以g不是单射。
(3)对任意的n∈N，g?f(n)＝g(f(n))＝g(n＋1)＝max{0，n＋1－1}＝n＝IN(n)，所以，g?f＝IN。但f?g(0)＝f(g(0))＝f(max{0，0－1})＝f(0)＝1，所以f?g≠IN。
8.设f：A?B，g：B?C，h：C?A，证明：如果h?g?f＝IA，f?h?g＝IB，g?f?h＝IC，则f、g、h均为双射，并求出f、g和h。
解 因IA恒等函数，由h?g?f＝IA可得f是单射，h是满射；因IB恒等函数，由f?h?g＝IB可得g是单射，f是满射；因IC恒等函数，由g?f?h＝IC可得h是单射，g是满射。从而f、g、h均为双射。
由h?g?f＝IA，得f＝h?g；由f?h?g＝IB，得g＝f?h；由g?f?h＝IC，得h＝g?f。 9.完成定理5.13的证明。
证明 由题意易知，f?IA和IB?f都是A到B的函数。
对任意的x∈A， f?IA(x)＝f(IA(x))＝f(x)，所以f＝f?IA。又IB?f(x)＝IB(f(x))＝f(x)，所以f＝IB?f。
综上可得，f＝f?IA＝IB?f。
10.若A和B都是无限集合，C是有限集合，回答下述问题。对肯定的答复要讲出理由，对否定的答复要举出反例。
(1)A∩B是无限集合吗？ (2)A－B是无限集合吗？ (3)A∪C是无限集合吗？
解 (1)A∩B不一定是无限集合。例如：令A＝{0，1，2，?，}，B＝{0，-1，-2，?，}，A和B都是无限集合，但A∩B＝{0}，因而A∩B不是无限集。
(2)A－B不一定是无限集合。例如：A＝B＝N，A和B都是无限集合，但A－B＝?，因而A－B不是无限集。
(3)A∪C是无限集合。若A∪C不是无限集合，则存在正整数n使得在A∪C和{0，1，?，n－1}存在双射f，于是f是A到{0，1，?，n－1}和C到{0，1，?，n－1}的单射，从而|A|≤n，|C|≤n，与A和B都是无限集合矛盾。
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－1
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第5章 函数
11.证明[2，3]≈[0，1]，且它们的基数为?。
证明 令f：[2，3]?[0，1]，f(x)＝x－2，则易证f是双射，所以[2，3]≈[0，1]。再由5.3例2，所以它们的基数为?。
12.设A、B、C、D是集合，且A≈C，B≈D，证明A×B≈C×D。
证明 因为A≈C，B≈D，则存在从A到C的双射f和从B到D的双射g。令h：A×B?C×D，
h(?x,y?)＝
13.设|A|＝?，|B|＝?，|D|＝?0，|E|＝n＞0，这里A、B、D和E是彼此不相交的，证明下列各式：
(1)|A∪B|＝? (2)|A∪D|＝? (3)|D×E|＝?0
证明 令fA为[0，1]到A的双射，fB为[0，1]到B的双射，fC为N到C的双射。 (1)设g1：[0，
1]?[0，1]， 2?1?n?2?g1(x)???2x??设g2：[0，
x?1,n?2,n?Nn其它
1]?[0，1]，g2(x)＝2x－1 2g1和g2是双射，用这些函数再构造[0，1]到A∪B的双射如下：
f：[0，1]?A∪B
f(x)＝fA?g1(x)，若x∈[0，f(x)＝fB?g2(x)，若x∈[
1) 21，1] 2因为A和B是不相交的，所以f是[0，1]到A∪B的双射，故|A∪B|＝?。
(2)因为|A|＝?，所以存在可数集M。此时A＝(A－M)∪M。A∪D＝(A－M)∪(M∪D)。因为M∪D可数，所以存在双射g：M?M∪D。
?g(x)?令f：A?A∪D，f(x)???x?x?M，则f是A到A∪D的双射，所以|A∪D|＝?。
x?A?M 5
