江西省南昌市第二中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学（文）试卷

江西省南昌市第二中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学（文）

试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．若直线l1:y?2x?3，直线l2与l1关于直线y??x对称，则直线l2的斜率为

11A． B．? C．2 D．?2

22x2y2??1的焦点坐标为 2.椭圆

1625A．(?3,0)

B．(0,?4)

C．(?4,0) D．(0,?3)

3．直线方程为x?3y?2?0，则直线的倾斜角为

?5??2? B． C． D．

63634．过两直线2x?y?4?0与x?y?5?0的交点，且垂直于直线x?2y?0的直线方

A．

程是

A．2x?y?8?0 B．2x?y?8?0 C．2x?y?8?0 D．2x?y?8?0 5. 设P是圆(x?3)?(y?1)?4上的动点,Q是直线x??3上的动点,则PQ的最 小值为 A．6

22B． 4 C．3 D．2

6. 已知过点P(2,2) 的直线与圆(x?1)2?y2?5相切, 且与直线ax?y?1?0垂直, 则a? 1A．?

2B．1 C．2 D．

1 2x2y2??1的渐近线方程是 7．双曲线

916 A．y??91643x B．y??x C．y??x D．y??x 1693428．过抛物线y?4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线

A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条

22D. 不存在

9．椭圆ax?by?1与直线y?1?x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的

1

斜率为

a3，则的值为

b2A．

323 B． 23C．

93 2D．

23． 27x2y210. 若椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，线段F1F2被抛

ab物线

y2?2bx的焦点F分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为

B．

25 A．54 5 C．

16 17 D．

417 17二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 已知圆O:x2?y2?5,直线:xcos??ysin??1(0???离等于1的点的个数为k,则k?________.

π).设圆O上到直线的距 2x2y2??1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|?4，则?F1PF2的 12. 椭圆92小大为__________.

13. 设抛物线y2 = 4x的一条弦AB以点这P（1，1）为中点，则该弦所在直线的斜率 的值为__________.

x2y2??1的离心率e?2，则实数m= 14．双曲线9m15．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，

uuruur且BF?2FD，则C的离心率为 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16．（本题12分）求双曲线16x?9y??144的实轴、 焦点坐标、 离心率和渐近线方程。

2

22

17. （本题12分）过原点O的椭圆有一个焦点F(0,4)，且长轴长2a?10，求此椭圆的中心的轨迹方程。

18. （本题12分）已知圆C：x2?y2?2x?4y?4?0，问是否存在斜率为1的直线，使被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆过原点，若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由。

0)B(01)，是它的两个顶点，直线19．（本题12分）设椭圆中心在坐标原点，A(2，，y?kx(k?0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

????????（Ⅰ）若ED?6DF，求k的值； （Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

y B F

D x O A

E

20．（本题13分）已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程; (Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是?PBQ的角平分线, 证明直线过定点.

3

x2y22321（本小题满分14分）．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为，且过点

ab3P(6,1)。

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

????????（Ⅱ）若直线l:y?kx?2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OAO?B?2（O为坐标原点），求实数k的取值范围。

南昌二中2013－2014学年度上学期中考试

高二数学（文）试卷

参考答案

一．选择题：BDBAB CCAAA 二．填空题

11．4； 12．1200； 13．2； 14．27； 15．三．解答题

3 3y2x2??1 16．双曲线方程可化为

169所以：实轴长为8；焦点坐标为(0,5)和(0,?5)，离心率e?渐近线方程为y??5， 44x 317解：设椭圆的中心O1(x0,y0)，另一焦点F1(2x0,2y0?8) ∵|OF|?|OF1|?2a?10，∴|OF1|?2a?|OF|?10?4?6

∴(2x0)2?(2y0?8)2?36，所求椭圆中心的轨迹方程为x?(y?4)?9

18．假设存在直线：y?x?m，使被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆过原点。

22?x2?y2?2x?4y?4?0令A(x1,y1)、B(x2,y2)，联立?

y?x?m?

4

得2x2?2(m?1)x?m2?4m?4?0，??4(m?1)2?8(m2?4m?4)?0 得m?6m?9?0 （*）

2m2?4m?4x1?x2??(m?1),x1x2?

2????????∵以AB为直径的圆过原点，∴OA?OB?x1x2?y1y2?0

得2x1x2?m(x1?x2)?m2?0?m2?3m?4?0得m??4或1满足（*） 所以存在直线被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆过原点， 直线的方程为：y?x?4或y?x?1

x2?y2?1， 19（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为4直线AB，EF的方程分别为x?2y?2，y?kx(k?0)．

如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1?x2，

2且x1，x2满足方程(1?4k2)x2?4，故x2??x1?．①

21?4k????????1510由ED?6DF知x0?x1?6(x2?x0)，得x0?(6x2?x1)?x2?；

27771?4k2210由D在AB上知x0?2kx0?2，得x0?．所以， ?1?2k1?2k71?4k2232化简得24k?25k?6?0，解得k?或k?．

38（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为

x1?2kx1?22(1?2k?1?4k2)x2?2kx2?22(1?2k?1?4k2)h1??h2??，．

22555(1?4k)5(1?4k)又AB?22?1?5，所以四边形AEBF的面积为

12(1?2k)1?4k2?4k14(1?2k)S?AB(h1?h2)??5?≤22， ??222221?4k21?4k5(1?4k)1当2k?1，即当k?时，上式取等号．所以S的最大值为22．

2解法二：由题设，BO?1，AO?2．

设y1?kx1，y2?kx2，由①得x2?0，y2??y1?0， 故四边形AEBF的面积为

5