三角函数基本性质

三角函数基本性质

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=

2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(?+θ)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?=

a

b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

图象变换：函数()()sin 0,0y A x A ω?ω=

+>>的图象可由sin y x =的图象做如下变换

得到

1、先相位变换 周期变换 振幅变换 sin y x = ()sin y x ?=+：把sin y x =图象上所有的点向左（0?>） 或向

右（0?<）平移?个单位。

()sin y x ω?=+：把()sin y x ?=+图象上各点的横坐标伸长

（01ω<<）或缩短（1ω>）到原来的 1

ω倍,

纵坐标不变。

()sin y A x ω?=+：把()sin y x ?=+图象上各点的纵坐标伸长

（1A >）或缩短（01A <<）到原来的A 倍,

横坐标不变。

2、先周期变换 相位变换 振幅变换

sin y x = sin y x ω=：把s i n y x =图象上各点的横坐标伸长

（01ω<<）或缩短（1ω>）到原来的1

ω 倍,纵坐标不变。

()sin y x ω?=+：把sin y x ω=图象上所有的点向左（0?>）或向右

（0?<）平移?ω

个单位. ()sin y A x ω?=：把()s i n y x ?=+图象上各点的纵坐标伸长

（1A >）或缩短（01A <<）到原来的A 倍,横坐标不变。

3、 注意：（1）要会画()sin y A x ω?=+在一个周期的图象：（即五点作图法：设

30,,,,2,22t x π

πω?ππ=+=求相应的

x 值和对应的y 值,描点作图）如2sin 26y x π??=+ ???,在[]0,π上的图象的画法。

（2）注意图象变换时①先平移后伸缩和先伸缩后平移时平移单位的区别。

②要先使函数名称相同再变换。

如：为得到函数cos 23y x π??=+ ???

的图象,只需将函数sin 2y x =的图象向 平移 个单位。

（3）2T πω=,1f T

=（频率）。注意()sin y A x ω?=+、()cos y A x ω?=+相邻两对称轴间的距离为2T πω

=。

（4）已知图象求解析式时注意：看振幅求A ,看周期求ω,看特殊点求?（通常是最大值或最小值时的位置）

（5）已知变换求解析式时,注意只能对自变量x 进行变换。

三角函数的图象及性质表（1）

三角恒等变化

【基础知识】

一、同角的三大关系：

① 倒数关系 tan α?cot α=1 ② 商数关系

sin cos αα= tan α ； cos sin αα= cot α ③ 平方关系 22sin cos 1αα+=

温馨提示：

（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。

（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号。

用诱导公式化简，一般先把角化成,2

k z α+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角

2

k πα+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）。

用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间00(0,360)的角，再变到区间00(0,180)的角，再变到区间00(0,90)的角计算。

三、和角与差角公式 ： sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;

cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;

tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±=

tan α±tan β=tan (α±β)(1 tan αtan β)

四、二倍角公式：

sin 2α= 2sin cos αα.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

22tan tan 21tan ααα

=- 五、注意这些公式的来弄去脉

这些公式都可以由公式cos()cos cos sin sin αβαβ

αβ±=推导出来。 六、注意公式的顺用、逆用、变用。

如：逆用sin cos cos sin sin()αβαβαβ±=±

七、合一变形（辅助角公式）

把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的

B x A y ++=)sin(??形式。

()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B =A

． 八、万能公式

九、用αsin ，αcos 表示2tan α

十、积化和差与和差化积

积化和差 )]sin()[sin(cos sin βαβαβα-++=；

)]sin()[sin(sin cos βαβαβα--+=；

)]cos()[cos(cos cos βαβαβα-++=；

)]cos()[cos(sin sin βαβαβα--+=.

和差化积 2

c o s 2s i n 2s i n s i n ?θ?

θ?θ-+=+ 2

s i n 2c o s 2s i n s i n ?θ?θ?θ-+=- 2

c o s 2c o s 2c o s c o s ?θ?θ?θ-+=+ 2

s i n 2s i n 2c o s c o s ?θ?θ?θ-+=-

十一、方法总结

1、三角恒等变换方法

观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）

（1） “变角”

,

22

. （2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦sin cos tan ,cot cos sin αααααα

==），

（3）“变式’形公式展开和合并等。

2、恒等式的证明方法灵活多样

①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.

②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.

③比较法, 即设法证明: "左边－右边=0" 或" 左右

=1"; ④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.

例题:

如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动

赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数

y=Asin ωx(A>0, ω>0) x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为

S(3，)；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛

运动员的安全，限定∠MNP=120o

（I ）求A , ω的值和M ，P 两点间的距离；

（II ）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？

本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，

解法一

（Ⅰ）依题意，有A =34T =，又2T πω=，6πω∴=。6y x π∴=

当 4x =是，233y π∴== (4,3)M ∴ 又(8,3)p

5MP ∴=

（Ⅱ）在△MNP 中∠MNP=120°，MP=5，

设∠PMN=θ，则0°<θ<60° 由正弦定理得

00sin sin120sin(60)MP NP MN θθ==-

NP θ∴=,0)MN θ∴=-

故01)(sin )2NP MN θθθθ+=

-=

060)θ=+ 0°<θ<60°，∴当θ=30°时，折线段赛道MNP 最长

亦即，将∠PMN 设计为30°时，折线段道MNP 最长

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在△MNP 中，∠MNP=120°，MP=5，

由余弦定理得222cos MN NP MN NP +-∠MNP=2MP

即2225MN NP MN NP ++= 故22()25()2MN NP MN NP MN NP ++-=≤

从而23()254MN NP +≤，即MN NP +≤ 当且仅当MN NP =时，折线段道MNP 最长

注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，

还可以设计为：①N ；②N ；③点N 在线段MP 的垂直平分线上等