核能气质少年(全国通用版)2018-2019高中数学 第二章 函数 2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图象(选学)练习 新人教B版必修1
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1 2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图象(选学
)
课时过关·能力提升
1下列函数是奇函数的是( )
A.y=
B.y=-3x 2
C.y=-|x|
D.y=πx 3-x
,再确定f (-x )与f (x )的关系.选项A 中函数的定义域
为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C 中函数的定义域均是R ,且函数均是偶函数;选项D
中函数的定义域是R
,且f (-x )=-f (x ),则此函数是奇函数.
2设函数f (x )
=
+1,则f (x )( )
A.是奇函数
B.
是偶函数
C.是非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
得-1≤x ≤1, 即函数定义域为[-1,1],关于原点对称.
又因为f (-x )=
+
1=f (x ),
所以f (x )是偶函数.
3若函数f (x )=
是定义域为R 的奇函数,则实数b 的值为( ) A.1
B.-1
C.0
D.1或-1
f (0)=0,即=0,故b=0,且此时f (x )=,f (-x )=
=-
=-f (x ),
即f (x )是奇函数.
(全国通用版)2018-2019高中数学 第二章 函数 2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图象(选学)练习 新人教B版必修1
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2 4已知偶函数y=f (x )在区间(-∞,0]上是增函数,则下列不等式一定成立的是( )
A.f (3)>f (-2)
B.f (-π)>f (3)
C.f (1)>f (a 2+2a+3)
D.f (a 2+2)>f (a 2+1)
y=f (x )在区间(-∞,0]上是增函数,且f (x )为偶函数,
所以y=f (x )在区间[0,+∞)内是减函数.
因为a 2+2a+3=(a+1)2+2>1,
所以
f
(a 2+2a+3)<f (1)肯定成立,故选C .
5已知f (x )=ax 7-bx 5+cx 3+2,且f (-5)=m ,则f (5)+f (-5)的值为( )
A.4
B.0
C.2m
D.-m+4
,得f (x )+f (-x )=
4,
故f (-5)+f (5)=4.
6若偶函数f (x )满足f (x )=2x-4(x ≥0),则不等式f (x-2)>0的解集为( )
A.{x|x<-2或x>4}
B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<0或x>6}
D.{x|x<-2或x>2}
x ≥0时,令f (x )=2x-4>0,得x>2.
又因为函数f (x )为偶函数,
所以函数f (x )>0的解集为{x|x<-2或x>2}
.
故f (x-2)>0的解集为{x|x<0或x>4}.
7若函数f (x )(x ∈R )为奇函数,f (1)=,f (x+2)=f (x )+f (2),则f (5)等于 ( )
A.0
B.1
C.
D.5
f (x+2)=f (x )+f (2)中,令x=-1得f (1)=f (-1)+ f (2).因为f (1)=,f (x )是奇函数,
所以f (-1)=-,f
(2)=1,
所以f (x+2)=f (x )+1,
故f (5)=f (3)+1=f (1)+1+1=+2=.
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3 8设函数f (x )=
为奇函数,则实数a= .
f (x )是奇函数,
所以f (-1)=
=0=-f (1)=-=-2(1+a ). 所以a=-1.当a=-1时,f (x )=
=x-(x ≠0),f (x )为奇函数,故
a=-
1.
1 9已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2
+4x+m ,则当x<0时,f (x )= .
f (x )是定义域为R 的奇函数,
所以f (0)=0,即02+4×0+m=0,解得m=0,当x ≥0时,f (x )=x 2+4x.设x<0,则-x>0,
故f (-x )=(-x )2+4·(-x )=x 2-4x.
又因为f (-x )=-f (x ),
所以当x<0时,f (x )=-x 2+4
x.
2+4x
10已知奇函数f (x )(x ∈R )满足f (x+4)=f (x )+f (2),且f (1)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 016)
等于
.
11已知定义在(-1,1)内的奇函数f (x ),在定义域上为减函数,且f (1-a )+f (1-2a ) >0,求实数a
的取值范围.
f (1-a )+f (1-2a )>0, ∴f (1-a )>-f (1-2a ).
∵f (x )是奇函数,∴-f (1-2a )=f (2a-1),
即f (1-a )>f (2a-1).
又f (x )在(-1,1)内是减函数,
∴
∴<a<1.
故a 的取值范围是
. ★12函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x>0时,函数的解析式为f (x )= -1.
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4 (1)求f (-1)的值;
(2)求当x<0时函数的解析式;
(3)用定义证明f (x )在(0,+∞)内是减函数.
f (x )是偶函数,
所以f (-1)=f (1)=2-1=1.
x<0时,-x>0,故f (-x )=
-1. 因为f (x )为偶函数,
所以当x<0时,f (x )=f (-x )=
-1=--1.
x 1,x 2是(0, +∞)内的任意两个不相等的实数,且0<x 1<x 2,
则Δx=x 2-x 1>0,Δy=f (x 2)-f (x 1) =-1-.
因为x 1-x 2<0,x 1x 2>0,
所以Δy<0.
故f (x )=-1在(0,+∞)内是减函数.
★13(1)已知函数f (x ),x ∈R ,若对于任意实数a ,b ,都有f (a+b )=f (a )+f (b ),求证:f (x )为奇函数;
(2)已知函数f (x ),x ∈R ,若对于任意实数x 1,x 2,都有f (x 1+x 2)+f (x 1-x 2)=2f (x 1)f (x 2),求证: f (x )是
偶函数;
(3)设函数f (x )定义在(-l ,l )内,求证:f (x )+f (-x )是偶函数, f (x )-f
(-x )是奇函数.
函数f (x )的定义域为R ,关于原点对称.
设a=0,则f (b )=f (0)+f (b ),故f (0)=0.
设a=-x ,b=x ,则f (0)=f (-x )+f (x ),
即f (-x )=-f (x ).因此,f (x )是奇函数.
(2)函数f (x )的定义域为R ,关于原点对称.
设x 1=0,x 2=x ,得f (x )+f (-x )=2f (0)f (x ).
① 设x 1=x ,x 2=0,得f (x )+f (x )=2f (0)f (x ).
②
由①②,得f (-x )=f (x ).
故f (x )是偶函数.
(3)由于对任意的x ∈(-l ,l ),也必有-x ∈(-l ,l ),
可见,f (-x )的定义域也是(-l ,l ).
若设F (x )=f (x )+f (-x ),G (x )=f (x )-f (-x ),
则F (x )与G (x )的定义域也是(-l ,l ),显然是关于原点对称的区间.
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∵F(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=f(x)+f(-x)=F(x),G(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-G(x),
∴F(x)是偶函数,G(x)是奇函数,
即f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.
5
