不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析

一、不等式恒成立问题

2问题引入：已知不等式x?2ax?1?0对x?[1,2]恒成立，其中a?0，求实数a的取值范围。

分析：思路（1）通过化归最值，直接求函数f(x)?x2?2ax?1的最小值解决，即fmin(x)?0。

x2?111x2?1?(x?)解决，即a?()min。 思路（2）通过分离变量，转化到a?2x2x2x思路（3）通过数形结合，化归到x2?1?2ax作图解决，即y?x2?1图像在y?2ax的上方。 小结：不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：

（1）若不等式A?f?x?在区间D上恒成立,则等价于在区间D上A?f?x?min?f?x?的下界大于A； （2）若不等式B?f?x?在区间D上恒成立,则等价于在区间D上B?f?x?max?f?x?的上界小于B。

x2?2x?a例 已知f?x??对任意x??1,???,f?x??0恒成立，试求实数a的取值范围。

x2解：等价于??x??x?2x?a?0对任意x??1,???恒

成立,又等价于x?1时,??x?2t=m g(t) min?0成立.由于

??x???x?1??a?1在?1,???上为增函数,

则?min?x????1??a?3,所以a?3?0?a??3

2、分离参数法

（1）将参数与变量分离，即化为g????f?x?（或g????f?x?）恒成立的形式； （2）求f?x?在x?D上的最大（或最小）值； （3）解不等式g????f?x?maxo · 1 t 图1 (或g????f?x?min) ，得?的取值范围。

例 已知函数f(x)?ax?4x?x2,x?(0,4]时f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围。 解： 将问题转化为a?4x?x2对x?(0,4]恒成立。 x1

令g(x)?4x?x2，则a?g(x)min x由g(x)?4x?x2?x4?1可知g(x)在(0,4]上为减函数，故g(x)min?g(4)?0 x∴a?0即a的取值范围为(??,0)。

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。

例 已知二次函数f(x)?ax2?x，若x??0,1?时，恒有f(x)?1，求a的取值范围。 解：?f(x)?1，??1?ax?x?1， 即?1?x?ax?1?x

（1）当x?0时，不等式?1?a?0?1显然成立， ?a?R

2（2）当0?x?1时，由?1?x?ax?1?x得?221111??a?? 22xxxx?

11112111??(?)??0(?)min?0，?a?0． ，

x24x2xx2x11112111又??2???(?)???2，(?2?)max??2，?a??2． ??2?a?0

xx24xxx综上得，a的取值范围为?2?a?0。

3、数形结合法

（1）若不等式f?x??g?x?在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y?f?x?和图象在函数y?g?x?图象上方；

（2）若不等式f?x??g?x?在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y?f?x?和图象在函数y?g?x?图象下方。

例 设f(x)??x2?4x , g(x)?4x?1?a,若恒有f(x)?g(x)成立,求实数a的取值范围. 3y 分析：在同一直角坐标系中作出f(x)及g(x) 的图象

22如图所示，f(x)的图象是半圆(x?2)?y?4(y?0)

g(x)的图象是平行的直线系4x?3y?3?3a?0。

要使f(x)?g(x)恒成立，

则圆心(?2,0)到直线4x?3y?3?3a?0的距离

-4 -4 -2 x O 2

满足 d??8?3?3a5?2

解得a??5或a?

5（舍去) 3例 当x?(0,)时，不等式x2?logax恒成立，求a的取值范围．

分析：注意到函数f(x)?x2，g(x)?logax都是我们熟悉的函数，运用数形结合思想，可知要使对一切

1211x?(0,)，f(x)?g(x)恒成立，只要在(0,)内， g(x)?logax的图象在f(x)?x2图象的上方即可．显然

22110?a?1，再运用函数思想将不等式转化为函数的最值问题，即f()?g()．

221解：设f(x)?x2，g(x)?logax，则要使对一切x?(0,)，f(x)?g(x)恒成立，由图象可知0?a?1，并

21111且f()?g()，故有loga?，

222411?a?， 又?0?a?1 ??a?1

1616点评：通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到了简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用。 此外，从图象上直观得到0?a?1后还需考查区间(0,)右端点x?

4、变换主元法

2例 对于满足0?p?4的一切实数，不等式x?px?4x?p?3恒成立，试求x的取值范围。

2分析：习惯上把x当作自变量，记函数y?x?(p?4)x?3?p，于是问题转化为： 当p??0,4?时，y?0恒

121

处的函数值的大小。 2

成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的。

2解：设函数f(p)?(x?1)p?(x?4x?3)，显然x?1，则f(p)是p的一次函数，要使f(p)?0恒成立，当

且仅当f(0)?0，且f(4)?0时，解得x的取值范围是(??,?1)?(3,??)。

点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色。

例 对任意a?[?1,1]，不等式x?(a?4)x?4?2a?0恒成立，求x的取值范围。

分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式

2(x?2)a?x2?4x?4?0在a?[?1,1]上恒成立的问题。

3

解：令f(a)?(x?2)a?x2?4x?4，则原问题转化为f(a)?0恒成立（a?[?1,1]）。 当x?2时，可得f(a)?0，不合题意。

?f(1)?0x?2当时，应有?解之得x?1或x?3。

?f(?1)?0故x的取值范围为(??,1)?(3,??)。

注：一般地，一次函数f(x)?kx?b(k?0)在[?,?]上恒有f(x)?0的充要条件为?例 设函数h(x)??f(?)?0。

f(?)?0?a11?x?b，对任意a?[,2]，都有h(x)?10在x?[,1]恒成立，求实数b的取值范围。 x24分析：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数。以本题为例，实质还是通过函数求最值解决。

方法1：化归最值，h(x)?10?hmax(x)?10；

a?x)或a??x2?(10?b)x； x11方法3：变更主元， ?(a)??a?x?b?10?0，a?[,2]

x21简解：对于方法3：变更主元，原函数可以看成是关于a的函数?(a)??a?x?b?10?0，只需?(a)max?0x121即可，因为?0，所以当a?2时?(a)有最大值?(a)max??x?b?10?0在x?[,1]恒成立，只需

xx421217(?x?b?10)max?0。当x?时，(?x?b?10)max?8??b?10?0，得b的取值范围是b?。 x4x44方法2：变量分离，b?10?( 练习题

21、设f?x??x?2ax?2,当x?[-1,+?]时，都有f?x??a恒成立，求a的取值范围。

解：a的取值范围为[-3，1]

2、R上的函数f?x?既是奇函数，又是减函数，且当???0,恒成立，求实数m的取值范围。 解：由fcos????2?时，有fcos??2msin??f??2m?2??02????2??2msin??f??2m?2??0得到：fcos2??2msin???f??2m?2?因为f?x?为奇函

2???数，故有fcos???2msin??f?2m?2?恒成立，

?g(t) t=m t o · 1 图2

2???又因为f?x?为R减函数，从而有cos??2msin??2m?2对???0,?恒

?2? 4