萌小芽
2005年高考理科数学全国卷（二）
一、选择题：
1. 函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（ ）
??A. B. C. π D. 2π
422. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点. 那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（ ）
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 3. 函数y?3x2?1(x?0)的反函数是（ ） A. y?(x?1)3(x??1) C. y?(x?1)3(x?0) 4. 已知函数y?tan?x在(?
B. y??(x?1)3(x??1) D. y??(x?1)3(x?0)
,)内是减函数，则（ ）
22A. 0
a?bi5. 设a、b、c、d∈R，若为实数，则（ ）
c?diA. bc+ad≠0 B. bc－ad≠0 C. bc－ad=0 D. bc+ad=0
x2y2??1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，6. 已知双曲线63则F1到直线F2M的距离为（ ）
365665A. B. C. D.
565617. 锐角三角形的内角A、B满足tanA－=tanB，则有（ ）
sin2AA. sin2A－cosB=0 B. sin2A+cosB=0 C. sin2A－sinB=0 D. sin2A+sinB=0
8. 已知点A（3，1），B（0，0）C（3，0）.设∠BAC的平分线AE与
??BC相交于E，那么有BC??CE,其中?等于（ ）
11A. 2 B. C. －3 D. －
239. 已知集合M=|x|x2－3x－28≤0|N={x|x2－x－6>0|，则M∩N为（ ） A. |x|－4≤x<－2或3
10. 点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位）.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（ ）
A. （－2，4） B. （－30，25）
1
C. （10，－5） D. （5，－10）
11. 如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（ ） A. a1a8＞a4a5 B. a1a8＜a4a5 C. a1＋a8＞a4＋a5 D. a1a8＝a4a5
12. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）
A.
3?26 3
B. 2?26
33C. 4?26
3D. 43?26
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚. 3. 本卷共10小题，共90分.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.） 13. 圆心为（1，2）且与直线5x－12y－7=0相切的圆的方程为 .
sin3?1314. 设?为第四象限的角，若?,则tan2? .
sin?515. 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个.
16. 下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
设函数的x取值范围。 18. （本小题满分12分）
已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列，又
（Ⅰ）证明{bn}为等比数列；
（Ⅱ）如果无穷等比数列{bn}各项的和S?d.
2
1，求数列{an}的首项a1和公差3
（注：无穷数列各项的和即当n??时数列前n项和的极限） 19. （本小题满分12分）
甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令?为本场比赛的局数,求?的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）
20. （本小题满分12分） 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点.
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；
（Ⅱ）设AB=2BC，求AC与平面AEF所成的角的大小. 21. （本小题满分14分）
y22?1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.P、Q、M、N四点都在椭圆x?2??????已知PF与FQ共线,MF与FN线,且PF?MF?0.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。
22. （本小题满分12分）
已知a?0,函数f(x)?(x2?2ax)ex.
（Ⅰ）当x为何值时，f (x)取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围.
3
参考答案
评分说明：
1. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。 1. C 2. D 3. B 4. B 5. C 6. C 7. A 8. C 9. A 10. C 11. B 12. C 二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。
3 13. (x?1)2?(y?2)2?4 14. ?
4 15. 192 16. ①，④ 三. 解答题：
17. 本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法。考查分析问题的能力和运算能力。满分12分。
解：由于y?2x是增函数，f(x)?22等价于
3 |x?1|?|x?1|?(1)
2 （i）当x?1时，|x?1|?|x?1|?2 ?(1)式恒成立
（ii）当?1?x?1时，|x?1|?|x?1|?2x
3 (1)式化为2x?
23 即?x?1
4 （iii）当x??1时，|x?1|?|x?1|??2 (1)式无解。
3 综上，x取值范围是[，??)
4 18. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。满分12分。
（1）证明： ?lga1、lga2、lga4成等差数列
2?a1?a4 ?2lga2?lga1?lga4，即a2等差数列{an}的公差为d，则
(a1?d)2?a1(a1?3d)
4
这样d2?a1d 从而d(d?a1)?0
（i）若d?0，则{an}为常数列，相应{bn}也是常数列 此时{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列。
（ii）若d?a1?0，则
111??n a2n?a1?(2n?1)d?2nd，bn?a2nd211，公比为的等比数列 2d2综上知，{bn}为等比数列
这时{bn}是首项b1?（II）解：如果无穷等比数列{bn}的公比q?1，则当n??时其前n项和的极限不存在
11 因而d?a1?0，这时公比q?，b1?
22d11[1?()n]2 这样，{bn}的前n项和Sn?2d 11?211[1?()n]12 则S?limSn?lim2d?
n??n??1d1?21 由S?得公差d?3，首项a1?d?3
3 19. 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1?06.?04. 比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而 P(??3)?0.63?0.43?0.28
比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜，因而
222 P(??4)?C23?0.6?0.4?0.6?C3?0.4?0.6?0.4?0.3744
比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第五局甲胜或乙胜，因而
22222 P(??5)?C24?0.6?0.4?0.6?C4?0.6?0.4?0.4?0.3456 所以?的概率分布为
? 3 4 5 P 0.28 0.3744 0.3456 ?的期望E??3?P(??3)?4?P(??4)?5?P(??5) ?3?0.28?4?0.3744?5?0.3456
?4.0656 20. 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识，及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。满分12分。
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