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2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）
第三章导数
第04讲导数的综合应用---讲
1. 了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上 函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题 2. 高考预测：
（1） 导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点 等?解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势； （2） 适度关注生活中的优化问题 ? 3. 备考重点:
（1 ）熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；
（2 ）熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论 思想、函数方程思想等，分析问题解决问题
知识点1 ?利用导数研究函数的图象与性质
函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等 察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项 然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项
?解决此类问题应先观 ?如该题中函数解析式虽
f（x） — + sin— coy -
【典例11（ 2018 ?湖北高三月考（文））函数 石 2 2的导函数y = f^的图象大致是（
）
1 2
2X
2X
A.
D
【答案】C 【解析】
f(x) = -X2 + sin2-
因为 又=
Tl
-x2
='-cosx ,
-fW = ￡
*x+sinx ,
B,
..fg为奇函数，排除
1 H n
又x= ?时, 3 6+sin 百>0,排除 D,
- ^f'W = -
又当 0
-
x+sinx>0，当 x 时，x , -1 二 sinx
,
fM = -
*x+sinx>0，排除 A,
故选C. 【规律方法】
导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与
x轴的交点为x0，且图象在x0两侧附近连续分布于 x轴上
f'（x）的正负，得出原
F方，则xo为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数 函数f （x）的单调区间.
【变式1】函数y=4cosx-e|x| （e为自然对数的底数）的图象可能是（
【答案】A
【解析】函数为? 一?偶函数，图象关于 y轴对称，排除B、D，若x 0时,
严4（：05\讥］、一1血丫-/二-（」血汨/）,当 0
ex e:
> -，则 y ：：： 0，函数在(0, ?：：)上为减函数，选 A.
知识点2.与函数零点有关的参数范围问题
1 ?方程f(x) =0有实根？函数y = f (x)的图象与x轴有交点？函数y二f(x)有零点. 2 ?求极值的步骤：
① 先求f'(x)=0的根xo (定义域内的或者定义域端点的根舍去) ② 分析X0两侧导数f'(x)的符号：若左侧导数负右侧导数正，则 则X。为极大值点.
3 ?求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最 值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值
,大前提是要考虑函数的定义域
?
；
X0为极小值点；若左侧导数正右侧导数负,
4 ?函数y =f(x)的零点就是f (x) =0的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函 数图象的交点横坐标.
【典例2】(2018年理数全国卷II )已知函数) 「八 (1 )若 I ,证明：当
时，； I ;
?
(2)若：在心」心只有一个零点，求
日2
【答案】(1)见解析(2)
4
【解析】(1)当口二1时，f(打工1等价于(? + l)e Jy 设函数 ffM = (x + l)e ^-!.|,则畑小 x=-d)“. 当? I时，?
■，所以?在。计-“；单调递减.
2而小故当 时，.「'：：'：二〔，即：.「 (2)设函数 ；-:.
■ 在丄 只有一个零点当且仅当 (i )当 ?时， (\当?
时，
在丄
只有一个零点.
’， 没有零点； )- ?；,(：：\：；：”
；当■■■- ■■■'；时， ■ ?
当「辿二:时，? 所以 故?
在⑴」单调递减，在单调递增.
4a
堤 在m的最小值?
e
①若」
4 e2 , 即 ， 在只有一个零点; 4
即，由于- .'I，所以? 在■:'有一个零点, ③若’,
4
° 12 16Q3
由(1)知，当 xAO时，所以 ft(4a) = 1 - = 1 - 严 (巧 (2# 故在:逢J磁有一个零点，因此 在i ：-：有两个零点.
综上，’在丄 只有一个零点时,
【规律方 法】
即 ， 在【工+■'\没有零点；
1(/
1
.=1 - AU. “
与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断
函数的大致图象，讨论其图象与 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为
两个函数图象的交点问题.
_…，其中a R. 【变式2】(2019 ?天津高考模拟(理))已知函数
(I)当a=1时，求函数f x的单调区间:
(n)求函数f x的极值;
(川)若函数f x有两个不同的零点，求 a的取值范围.
【答案】(I)单调减区间为(1, +：：)，增区间为(0,1 ) ;
_z x 2
； - ■. (I)当 a=1 时，「「.—！_
当 f '( x) <0 时，x>1; f '( x) >0 时，0
???函数f x的单调减区间为(1, +：：)，增区间为(0,1 )
(n) f (x)的定义域是(0, +8),
f '( x , X X
若a<0,则f'( x)v 0,此时f (x)在(0, +8)递减，无极值 若 a> 0,则由 f'( x)= 0,解得：x= a,
(n)见解析(川)a>1
【解析】
1 X 凸十】|任一1)
, f '( x) = -
X
a . (2x + l)ix-a)
当 0v xv a 时，f ' ( x) >0,当 x> a 时，f ' ( x) <0,