2020-2021备战中考数学复习《直角三角形的边角关系》专项综合练习及详细答案

2020-2021备战中考数学复习《直角三角形的边角关系》专项综合练习及详细答

案

一、直角三角形的边角关系

1．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4

，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴

正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：

（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．

（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．

（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．

【答案】（1）∠BME=15°； （2BC=4

；

h2+4h+8，

（3）h≤2时，S=﹣当h≥2时，S=18﹣3h． 【解析】

试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；

（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；

（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC． 试题解析：解：（1）如图2，

∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）． ∴OA=OB， ∴∠OAB=45°，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4∴∠OCE=60°，

，

∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°， ∴∠BME=∠CMA=15°； 如图3，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4∴∠OBC=∠DEC=30°， ∵OB=6， ∴BC=4

；

，

（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，

∵CD=4，DE=4

，AC=h，AN=NM，

∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM， ∵△CMN∽△CED， ∴∴

解得FM=4﹣∴S=S△EDC﹣S△EFM=

， ×4×4

﹣

（4

4﹣h）×（4﹣

）=﹣

h2+4h+8，

，

，

②如图3，当h≥2时， S=S△OBC=

OC×OB=

（6﹣h）×6=18﹣3h．

考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形

2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．

（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；

（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F． ①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；

②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）

【答案】（1）AE=CE；（2）①【解析】

试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；

（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得当CF=CD时，可得sin∠CED=

，从而有EC=AE=

=AD?AF．①

；②

．

CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得

，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当

CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题． 试题解析：（1）AE=CE．理由：

连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；

（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴∴

=AD?AF．

，