闂備礁鎼ˇ顖滃椤撱垹绀夐柨鐕傛嫹6.1 不等式的性质及一元二次不等式
核心考点·精准研析
考点一 比较大小与不等式的性质
1.(2019·泉州模拟)若a>b>c,ac<0,则下列不等式一定成立的是 A.ab>0 C.ab>ac 2.若a=2 019
2 022
( )
B.bc<0 D.b(a-c)>0 ×2 022
2 019
,b=2 019
2 019
×2022
2 022
,则a b(用“>,<”填空).
3.设m=,n=,则m n(用“>,<”填空).
【解析】1.选C.因为a>b>c,ac<0,所以a>0,c<0,b的符号不确定,故A,B,D不正确,C中,a>0,故ab>ac,正确.
2.=答案:<
=<1,所以a
3.m-n=答案:<
-=<0,所以m
1.用同向不等式求差范围的技巧
?
这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到. 2.比较大小的三种常用方法 (1)作差法:直接作差判断正负即可.
?a-d
(2)作商法:直接作商与1的大小比较,注意两式的符号.
(3)函数的单调性法:把比较的两个数看成一个函数的两个值,根据函数的单调性比较.
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【秒杀绝招】
1.特殊值排除法解T1,取条件范围内的特殊值代入排除不成立的选项,即可得出正确选项.
2.转化法解T3,比较大小时可以结合函数的单调性,根据不等式的特点构造函数f(x)=考点二 一元二次不等式的解法
( )
解题.
【典例】1.(2020·牡丹江模拟)不等式x(2-x)<0的解集是 A.(2,+∞) C.(0,2)
B.(-∞,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)
2.若不等式ax+2x+c<0的解集是
( )
2
∪,则不等式cx-2x+a≤0的解集是
2
A.C.[-2,3]
B.D.[-3,2]
3.设a>1,则关于x的不等式(1-a)(x-a)【解题导思】
序号 1 2 3 <0的解集是 .
联想解题 由不等式想到x的系数变为正数后解不等式 由不等式的解集想到对应方程的根、根与系数的关系求系数 由不等式想到不等式变形、求根、根的大小写解集 【解析】1.选D.因为x(2-x)<0, 所以x(x-2)>0,所以x>2或x<0, 所以不等式的解集为(-∞,0)∪(2,+∞).
2.选C.不等式的解集是
∪,
- 2 -
所以-和是方程ax+2x+c=0的两个实数根,
2
由
2
,解得:a=-12,c=2,
2
故不等式cx-2x+a≤0,即2x-2x-12≤0, 即x-x-6≤0,解得-2≤x≤3, 所以所求不等式的解集是[-2,3].
2
3.因为a>1时,1-a<0,且a>,
则关于x的不等式可化为(x-a)>0,
解得x<或x>a,
所以不等式的解集为∪(a,+∞).
答案:
∪(a,+∞)
1.解不含参数的一元二次不等式
首先将二次项的系数变为正数,若对应的方程有根,求根后根据图像写解集;若无根,直接根据图像写解集. 2.解含参数的一元二次不等式
(1)先讨论二次项系数为0的情况,二次项系数为零时不等式变为一次不等式或常数不等式,易得不等式的解集;
(2)再讨论二次项系数不为0的情况,利用“Δ”或“十字相乘法”求根, 若有根,则讨论根的大小后根据图像写解集; 若无根,则根据图像写解集.
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1.(2019·西安模拟)不等式ax+bx+c>0的解集为(-4,1),则不等式b(x+1)- 2
2
a(x+3)+c>0的解集为( )
A.
B.
C.∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪
【解析】选B.因为不等式的解集为(-4,1), 则不等式对应方程的实数根为-4和1,且a<0;
由根与系数的关系知,
,所以,
所以不等式化为3a(x2
+1)-a(x+3)-4a>0, 化为3(x2
+1)-(x+3)-4<0,即3x2
-x-4<0,
解得-1
所以该不等式的解集为.
2.(2020·抚州模拟)设m=log0.30.6,n=log20.6,则 ( A.m-n>mn>m+n B.m-n>m+n>mn C.mn>m-n>m+n
D.m+n>m-n>mn
)
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【解析】选B.因为m=log0.30.6>log0.31=0,n=log20.6
因为-=-2log0.62=log0.60.25>0,而log0.60.25>log0.60.3,
=log0.60.3>0,
所以->>0,即m+n>0,
因为(m-n)-(m+n)=-2n>0,所以m-n>m+n,所以m-n>m+n>mn. 考点三 一元二次不等式恒成立问题 命 题 精 解 读 1.恒成立问题的解题思路 学 (1)利用等价条件直接求范围 霸 (2)分离参数后转化为最值问题 好 (3)转化为相应的函数,利用函数的图像解题 方 (4)转换变元,利用转化后对应函数的性质解题 法 2.交汇问题: 与基本初等函数的定义域、值域交汇时,借助函数的性质解题. 在R上的恒成立问题
【典例】若关于x的不等式x-ax-a>0的解集为(-∞,+∞),则实数a的取值范围为 .
【解析】设f(x)=x-ax-a,则关于x的不等式x-ax-a>0的解集为(-∞,+∞)?f(x)>0在(-∞,+∞)上恒成立?Δ=(-a)-4×1×(-a)=a+4a<0,解得-4
在R上的恒成立问题列不等式组的依据是什么?
提示:在R上的恒成立,可以依据对应的二次函数的图像,列出等价条件求解.
给定区间上的恒成立问题
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2
2
2
2
2
1.考什么:(1)求恒成立问题中的参数范围. (2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养,以及数形结合、分类与整合等数学思想. 2.怎么考:与基本初等函数、导数结合考查一元二次不等式与其对应的函数、方程的关系问题.