妯辫姳鑽�课 程 设 计
利用循环卷积与线性卷积的关系，采用DFT计算系统的响应。其中线性卷积的计算引入了DFT分析离散序列的频谱。
3.2.2 零输入、零状态法求解系统的响应
LTI离散系统可用系统函数H（z）的分子分母多项式形式、零极点-增益形式或状态空间形式来描述。
（1） 系统函数的分子分母多项式形式H (z) ： 离散系统的差分方程为：
?ay(n?i)??bx(n?i) aiii?0i?0NM0?1
对上式两边同取z变换，可得：
(1?r1z?1)(1?r2z?1)?(1?rmz?1)B(z)H(z)??k ?1?1?1A(z)(1?p1z)(1?p2z)?(1?pnz)在MATLAB中可使用向量b=[b0,b1,…,bM]和向量a=[1,a1,a2,…,aN]分别表示分子多项式和分母多项式的系数，注意从z按z的降幂排列其系数。
离散系统响应的求解
除可以使用MATLAB命令lsim求解外，还可以使用命令filter来求解系统响应。
1?2z?1 例1：已知系统函数为H(z)=, 求 : ?1?21?0.4z?0.12z(1) 系统的脉冲响应h(n)；
(2) 输入x(n)=u(n)，求系统的零状态响应y(n):
(3) 输入x(n)=u(n)，初始条件y(-1)=1,y(-2)=2,求系统的完全响应y(n) 解: (1)计算前11个时刻的h(n);
N=11;
b=[1,2];a=[1,0.4,-0.12]; x=[1,zeros(1,N-1)];
- 33 -
课 程 设 计
y=filter(b,a,x) Columns 1 through 5
1.0000 1.6000 -0.5200 0.4000 -0.2224 Columns 6 through 10
0.1370 -0.0815 0.0490 -0.0294 0.0176 Columns 11 through 15
-0.0106 0.0063 -0.0038 0.0023 -0.0014 Column 16 0.0008
(2)计算前11个时刻的零状态响应
N=11;
b=[1,2];a=[1,0.4,-0.12]; x=ones(1,N); y=filter(b,a,x) Columns 1 through 5
1.0000 2.6000 2.0800 2.4800 2.2576 Columns 6 through 10
2.3946 2.3131 2.3621 2.3327 2.3504 Column 11 2.3398
(3) 计算前11个时刻的完全响应 y(n)
b=[1,2];a=[1,0.4,-0.12]; x=ones(1,N); zi=filtic(b,a,[1,2]); y=filter(b,a,x,zi);
3.2.3 离散系统函数的零极点对系统频域特性的影响
因果LTI离散系统的系统函数H(z) 的极点全部位于z平面单位园时，系统的频响特性可由H(z)求出，使用命令freqz(b,a)可计算系统的频率特性。
- 34 -
课 程 设 计
1?z?1例2:.已知某系统的系统函数为H(z)=，求系统的幅频曲线 ?1?21?z?0.5z解 ：b=[1,1];a=[1,-1,0.5];
[H,w]=freqz(b,a);
plot(w,abs(H)) ;xlabel(‘Frequency(rad)’);ylabel(‘Magnitude’); title(‘Magnitude response’);
由图可见，系统的零点迫使高频处的幅频响应的幅度很小。 例3: 已知LTI离散系统的系统函数为：
1?2z?11?2z?1H(z)== ?1?1?1?2(1?0.2z)(1?0.6z)1?0.4z?0.12z1） 求系统的脉冲响应h(n).
2） 输入x(n)=u(n), 求系统的零状态响应y(n).
解 1）按H(z)|z=e → H(e)| ω=k(2π/N) → H (k), N 点H(k)可直接得到，对x (n) 作N=32点的DFT。注意，N大于等于x (n) 的长度。
N=32;
omega=0:2*pi/N:(2*pi*(N-1)/N);
H=(1+2*exp(-j.*omega))./(1+0.4*exp(-j.*omega)-0.12*exp(-2*j.*omega));
jω
jω
- 35 -
课 程 设 计
x=[1，zeros(1,N-1)]; X=fft(x,N); Y=X.*H; y=ifft(Y,N);
2) 求解当输入x (n) = u (n)时系统的零状态响应y(n),取x (n) = u (n)的长度为M＝30，计算N＝32点DFT。
M=30; N=32;
omega=[0:(N-1)]*2*pi/N;
H=(1+2*exp(-j.*omega))./(1+0.4*exp(-j.*omega)-0.12*exp(-2*j.*omega)); x=ones(1,M); X=fft(x,N); Y=X.*H ; y=ifft(Y,N); figure(1);
subplot(2,1,1); stem([0:M-1],x); xlabel('Time index n'); ylabel('x[n]'); title ('Input signal and output signal');
subplot(2,1,2); stem([0:M-1],real(y(1:M))); xlabel('Time index n'); ylabel('y[n]');
- 36 -