婵犵數鍋涢張顒勫礉閺嶎偆鐭堥柨鐕傛嫹课时作业(二十三)
1．在△ABC中，a＝b＋c＋bc，则∠A＝( ) A．60° C．120° 答案 C
B．45° D．30°
2
2
2
b2＋c2－a2－bc1
解析 cosA＝＝＝－，∴∠A＝120°.
2bc2bc2
π
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝，a＝3，b＝1，则c3等于( )
A．1 C.3－1 答案 B
B．2 D.3
ab31
解析 由正弦定理＝，可得＝，
sinAsinBπsinBsin
3
1
∴sinB＝，故∠B＝30°或150°.由a>b，
2得∠A>∠B，∴∠B＝30°. 故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2.
3．在△ABC中，若sinA·sinB
解析 sinAsinB
即cosAcosB－sinAsinB>0，∴cos(A＋B)>0， ∴A＋B为锐角，∴C为钝角，
∴△ABC为钝角三角形，外心位于它的外部．
4
4．在△ABC中，三内角A、B、C分别对三边a、b、c，tanC＝，c＝8，则△ABC外接
3圆半径R为( )
A．10 C．6 答案 D
解析 本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理，
B．8 D．5 B．外部 D．以上都有可能
44
由tanC＝?sinC＝，
35
c8
则2R＝＝＝10，故外接圆半径为5.
sinC4
5
5．(2020·太原模拟)△ABC中，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为( )
A．1＋3 C.
3＋3
3
B．3＋3 D．2＋3
答案 C
111222
解析 2b＝a＋c，ac·＝?ac＝2，a＋c＝4b－4，
222
b2＝a2＋c2－2ac·
34＋233＋32
?b＝?b＝. 233
6．在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为( ) A.3
2
3
或3 2
B.3 433或 42
C.D.
答案 D
解析 如图，由正弦定理得 sinC＝
c·sinB3
＝，而c>b， b2
∴C＝60°或C＝120°， ∴A＝90°或A＝30°， 133
∴S△ABC＝bcsinA＝或.
224
7．(2020·天津理)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sin C的值为( )
A.C.3 36 3
B.D.3 66 6
答案 D
解析 设AB＝c，则AD＝c，BD＝
2c3，BC＝
4c3
，在△ABD中，由余弦定理得cosA＝
4c42
c＋c－c33122cBC＝，则sinA＝.在△ABC中，由正弦定理得＝＝，解得sinC＝2
2c33sinCsinA22
2
2
3
6
，故选择D. 6
8．在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且sinC＝2sinAcosB，则△ABC是( ) A．等边三角形
B．等腰三角形，但不是等边三角形 C．等腰直角三角形
D．直角三角形，但不是等腰三角形 答案 A
解析 ∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 即a＋b－c＝ab，
2
2
2
a2＋b2－c21
∴cosC＝＝，∴C＝60°.
2ab2
又sinC＝2sinAcosB，
a2＋c2－b2
由sinC＝2sinA·cosB得c＝2a·，
2ac∴a＝b，∴a＝b.∴△ABC为等边三角形．
π
9．(2020·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，则sin A＝________；a4＝________.
2
2
答案
25
210 5
sin A22
解析 因为△ABC中，tan A＝2，所以A是锐角，且＝2，sinA＋cosA＝1，联立
cos A25ab解得sin A＝，再由正弦定理得＝，代入数据解得a＝210.
5sin Asin B10．(2020·衡水调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a－b＝3
2
2
bc，sinC＝23sinB，则角A的大小为________．
答案
π 6
解析 因为sinC＝23sinB，所以c＝23b，
b2＋c2－a2c2－3bc3
于是cosA＝＝＝，
2bc2bc2
π
又A是三角形的内角，所以A＝.
6
tanA2c11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若1＋＝，则角A的大小
tanBb为________．
答案
π 3
2c2sinCtanAsinAcosB解析 ∵＝，1＋＝1＋
bsinBtanBcosAsinB＝∴
sinAcosB＋cosAsinBsinA＋BsinC＝＝，
cosAsinBcosAsinBcosAsinB2sinCsinC＝. sinBcosAsinB在△ABC中，sinB≠0，sinC≠0， 1ππ
∴cosA＝，A＝，故填. 233
12．对于△ABC，有如下命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形；③若sinA＋sinB＋cosC<1，则△ABC为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)
答案 ③
解析 ①sin2A＝sin2B，
2
2
2
A＝B?△ABC是等腰三角形，??或∴?
π
2A＋2B＝π?A＋B＝，即△ABC是直角三角形.??2
故①不对．
ππ②sinA＝cosB，∴A－B＝或A＋B＝.
22∴△ABC不一定是直角三角形． ③sinA＋sinB<1－cosC＝sinC， ∴a＋b
∴△ABC为钝角三角形．
2
2
2
2
2
2
2
25
13．已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝10，cosC＝.
5(1)求BC边的长；
(2)记AB的中点为D，求中线CD的长． 答案 (1)32 (2)13
255
解析 (1)由cosC＝得sinC＝，
55sinA＝sin(180°－45°－C) ＝
2310
(cosC＋sinC)＝. 210
由正弦定理知
BC＝AC10310
·sinA＝·＝32. sinB102
2
(2)AB＝·sinC＝sinBAC1022
·
5
＝2. 5
BD＝AB＝1.由余弦定理知 CD＝BD2＋BC2－2BD·BC·cosB
＝
1＋18－2·1·32·2
＝13. 2
12
讲评 解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理＝求B时，应对解的个数进行讨论；已知a，
sinAsinBab