令时间1趋近于2,得到瞬时弹性b
八(C)C
回避系数)
根据 u[C(t)] = -^―有:
\\ — 0
0(c)= c%u'\\c)= -ec~e~\\ 则a = l/0
厂 1-&
(常数相对风险
] 厂 1—&
例如:一个两期的效用函数为u =
丄亠,可以证明
\\-e \\ + p \\-e
b = i/& (思考:为什么)。
常数替代弹性意味着与c无关,因此在消费选择上没有不确定 性。但0决定了家庭在不同时期转换消费的愿望,0越小,家庭越愿 意接受消费较大的波动。
(3) 边际效用\为正;当&
当。>1时,边际效用随C增加而减少。
(4) q —斤―(1 —&)g> 0是为保证效用不发散(受到约束)。 3. 考虑有效劳动的家庭效用函数和即期效用函数
考虑劳动增进型的技术进步,并定义每单位有效劳动的平均消费 为c(t),有:
A(t) = A(O)e C(r) = A(r)c(r)
[注意:家庭总消费 C(t)L(t)/H=c(t)A(t)L(t)/H] 代入即期效用函数得:
gtC(f严
做)灾)广&
\\^e
\\-e
[4(0)評严⑷严=泌(0)严严咖型1
1 — 0 \\-3 再代入家庭效用函数,得:
u
= J:八[C(°]罟力=仁厂叫[\]嘗力
=C e~(P~n)r{ lA(O)]l-0e(l-0)gr
J\
十(0)严晋匸謳
l-6> H
-(p-n)te(l-0)gt \\-e =[“o)r\他「--(1-&肿 £22^ di
H J\
1-0
=BC芒型二山 力=。匕i_&
一&空丄0三°_mo (收敛条件)
其中,B三[A(0)]
H 4. 家庭的跨期预算约束
家庭而临的预算约束:其一生消费的现值不能超过其初始财富加 上一生的收入(利息r和工资w,均为外生变量)。
定义R = f;=
/⑴单位的产品,它说明在期间[0,t]上连续以复利计算利息的结果。 厂尺⑴为现值因子。当r不变为广时,则R=rto (思考:如果r是变动 的,平均r怎样表示)
家庭t期的劳动收入为w(t) A(t)L(t)/H,消费支出是C(t)L(t)/H,则 家庭的跨期预算约束为:
JA叫⑴穿沁罟+仁宀M)吩)罟力
类似的,考虑劳动增进型的技术进步,并定义每单位有效劳动的 平均消费为c(t)和每单位有效劳动的初始平均资本k(0),有:
A(t) = A(O)e C(t)二 A(t)c(t) K(0)= k(O)A(O)L(O)/H 代入得:
fX e 吨&)理凹 dt M 饥 0) J/=o
//
「尹% ⑴如
grH J/=o
(n+8)r' 丿 H
再考虑有效劳动的增长,A(r)L(r) = A(0)L(0)e得: 仁不<饥0) +匸0不如£(忙\吨)力 5. 横截面条件
, 代入,并在两边消去A(0)L(0)/H,
利用家庭资本持有量的极限形式来表示预算约束(等价命题)。
己知 罟+仁严峽)吩舞心二刊C⑴穿处0,故 ? +匸。不*⑴卩叩)-c⑴]A⑴罟山>0 将积分改写成为极限形式,有: Um{警 +『°宀⑴[W) -⑴竽呦> 0 v->oo H 刀=0
H 定义第V期的家庭资木持有量的总和为:
罟““罟+加“吨昨譽力
)5)
右式第一项表示第V期的初始资本存量的贡献(非负),第二项
表示两期之间的储蓄贡献(可正可负)。
整理有:
KW) 严{罟+仁严认)5)阙瞥“
H K(0) +『=()*\)〔W) - es⑴罟力=不恥)
KW) H H 代入极限形式的预算约束得:
lim才尺⑴△巴n 0,表示家庭持有资产的现值的极限为非负。 —00 H 由于 K(v) = e(n+8)vk(v) 因此,lim e~R(v)e(n+g)vk(v) > 0 6. 家庭的最优化问题 根据前而的推导己知
a. 家庭的最大化目标函数(幸福函数):
U = BC e^dt
PlCb. 跨期预算约束:
仁口⑴c(少(”+钏力 < 饥0) +仁厂⑴占讪吨皿 (均从有效劳动的人均情况来考虑) 因此可以构造拉格朗日函数:
| _Q
一町二八書力+心(0)+仁宀) e(n+8)tw(t)dt - j'o e-R(f)c(t)e(n+8)tdt] 求解最优的c(t)使O最大,对c(t)求导数,得到一阶条件为:
Be~c(ty =加-R ⑴ e(w\
pte两边取对数得: