閺夊磭鍔�令时间1趋近于2,得到瞬时弹性b
八(C)C
回避系数)
根据 u[C(t)] = -^―有：
\\ — 0
0(c)= c%u'\\c)= -ec~e~\\ 则a = l/0
厂 1-&
(常数相对风险
] 厂 1—&
例如：一个两期的效用函数为u =
丄亠，可以证明
\\-e \\ + p \\-e
b = i/& (思考：为什么)。
常数替代弹性意味着与c无关，因此在消费选择上没有不确定 性。但0决定了家庭在不同时期转换消费的愿望，0越小，家庭越愿 意接受消费较大的波动。
(3) 边际效用\为正；当&
当。>1时，边际效用随C增加而减少。
(4) q —斤―(1 —&)g> 0是为保证效用不发散(受到约束)。 3. 考虑有效劳动的家庭效用函数和即期效用函数
考虑劳动增进型的技术进步，并定义每单位有效劳动的平均消费 为c(t),有：
A(t) = A(O)e C(r) = A(r)c(r)
[注意:家庭总消费 C(t)L(t)/H=c(t)A(t)L(t)/H] 代入即期效用函数得:
gtC(f严
做)灾)广&
\\^e
\\-e
［4(0)評严⑷严=泌(0)严严咖型1
1 — 0 \\-3 再代入家庭效用函数，得:
u
= J：八［C(°］罟力=仁厂叫［\］嘗力
=C e~(P~n)r{ lA(O)]l-0e(l-0)gr
J\
十(0)严晋匸謳
l-6> H
-(p-n)te(l-0)gt \\-e =[“o)r\他「--(1-&肿 ￡22^ di
H J\
1-0
=BC芒型二山 力=。匕i_&
一&空丄0三°_mo (收敛条件)
其中，B三［A(0)］
H 4. 家庭的跨期预算约束
家庭而临的预算约束：其一生消费的现值不能超过其初始财富加 上一生的收入(利息r和工资w,均为外生变量)。
定义R = f；=
/⑴单位的产品，它说明在期间［0,t］上连续以复利计算利息的结果。 厂尺⑴为现值因子。当r不变为广时，则R=rto (思考：如果r是变动 的，平均r怎样表示)
家庭t期的劳动收入为w(t) A(t)L(t)/H,消费支出是C(t)L(t)/H,则 家庭的跨期预算约束为：
JA叫⑴穿沁罟+仁宀M)吩)罟力
类似的，考虑劳动增进型的技术进步，并定义每单位有效劳动的 平均消费为c(t)和每单位有效劳动的初始平均资本k(0),有：
A(t) = A(O)e C(t)二 A(t)c(t) K(0)= k(O)A(O)L(O)/H 代入得：
fX e 吨&)理凹 dt M 饥 0) J/=o
//
「尹％ ⑴如
grH J/=o
(n+8)r' 丿 H
再考虑有效劳动的增长，A(r)L(r) = A(0)L(0)e得： 仁不＜饥0) +匸0不如￡(忙\吨)力 5. 横截面条件
, 代入,并在两边消去A(0)L(0)/H,
利用家庭资本持有量的极限形式来表示预算约束(等价命题)。
己知 罟+仁严峽)吩舞心二刊C⑴穿处0,故 ? +匸。不*⑴卩叩)-c⑴］A⑴罟山＞0 将积分改写成为极限形式，有: Um｛警 +『°宀⑴［W) -⑴竽呦＞ 0 v-＞oo H 刀=0
H 定义第V期的家庭资木持有量的总和为:
罟““罟+加“吨昨譽力
)5)
右式第一项表示第V期的初始资本存量的贡献(非负)，第二项
表示两期之间的储蓄贡献（可正可负）。
整理有:
KW) 严｛罟+仁严认）5）阙瞥“
H K(0) +『=（）*\）〔W） - es⑴罟力=不恥）
KW) H H 代入极限形式的预算约束得:
lim才尺⑴△巴n 0,表示家庭持有资产的现值的极限为非负。 —00 H 由于 K(v) = e(n+8)vk(v) 因此，lim e~R(v)e(n+g)vk(v) > 0 6. 家庭的最优化问题 根据前而的推导己知
a. 家庭的最大化目标函数（幸福函数）：
U = BC e^dt
PlCb. 跨期预算约束：
仁口⑴c（少（”+钏力 < 饥0） +仁厂⑴占讪吨皿 （均从有效劳动的人均情况来考虑） 因此可以构造拉格朗日函数：
| _Q
一町二八書力+心（0）+仁宀） e（n+8）tw（t）dt - j'o e-R（f）c（t）e（n+8）tdt] 求解最优的c（t）使O最大，对c（t）求导数，得到一阶条件为：
Be~c（ty =加-R ⑴ e（w\
pte两边取对数得：