杳然第一章 量子力学基础知识
一. 填空题
1. 2. 3. 4.
经典物理学无法解释的代表性实验有__________、___________和____________。
联系实物微粒的波动性和微粒性的两个重要公式分别是___________________和______________________。
德布罗意关系式为________________；宏观物体的?值比微观物体的?值________。
1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。欲使电子射线产生的衍射环纹与Cu的K?线(波长为154 pm的单色X射线)产生的衍射环纹相同， 电子的能量应为________________J。 5.
15h2对于立方势箱中的粒子，在E?8ma2的能量范围内有____个态，有___个能级。
6.
3h2在边长为a的立方势箱中运动的粒子，其能级E?4ma227h2的简并度是______， E?8ma2的
7.
简并度是_______。
质量为m的粒子被局限在边长为a的立方箱中运动。波函数?211(x,y,z)= _________________________；当粒子处于状态?211时，概率密度最大处坐标是___________；若
7h2
体系的能量为
4ma2
二. 选择题
1. 2.
， 其简并度是_______________。
若用电子束与中子束分别作衍射实验，得到大小相同的环纹，则说明二者( ) A． 动量相同 B． 动能相同 C． 质量相同 任一自由的实物粒子，其波长为?，今欲求其能量，须用下列哪个公式 ( ) A．E?hc B． E??h2 C．?12.25? D．A，B，C都可以
E?e ??22m????23.
已经适应黑暗的人眼感觉510nm的光的绝对阈值在眼角膜表面处为11003.5×10-17J。它对应的光子数是（
）
A． 9×104 B． 90 C． 270 D． 27×108
4. 微粒在间隔为1eV的二能级之间跃迁所产生的光谱线的波数1eV=1.602×10-19J)
A． 4032 B． 8065 C． 16130 D． 2016
~v应为( )cm-1 (已知
5. 6.
在量子力学中，描述微观粒子运动状态的量是( )
A．坐标和动量 B．坐标和动量的不确定量 C．波函数? D．Schr?dinger方程 下列函数中属于品优函数的是( ) A．??x??ex B．??x??x C．??x??e?x222 D．??x??1?x2
27. 波函数归一化的表达式是( ) A．
??d??0 B．??d??1 C．??d??1 D．??d??1
28. 9.
若c为任意常数，则与?描述体系同一状态的波函数是( ) A．?* B．?*? C．c?* D．c*?
代表粒子在空间某点附近出现几率大小的数学表达式是( ) A．? B．?* C．??* D．??*d?
10. 粒子处于定态意味着（ ）
A．粒子处于概率最大的状态 B．粒子处于势能为零的状态 C．粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态
D．粒子处于静止状态
11. 对原算符而言，本征函数的线性组合具有下列性质中的( )
A．是原算符的本征函数 B．不是原算符的本征函数
C．不一定是原算符的本征函数 D．无法确定是否是原算符的本征函数 12. 对于厄米算符, 下面哪种说法是对的( )
A． 厄米算符中必然不包含虚数 B． 厄米算符的本征值必定是实数 C． 厄米算符的本征函数中必然不包含虚数
13. 对于算符?的非本征态?，下面哪种说法是对的( )
A．不可能测量其本征值g B．不可能测量其平均值?g? C．本征值与平均值均可测量，且二者相等
14. 所有内在性质完全相同，无法用物理测量的方法进行分辨的微观粒子称为( )
A．基本粒子 B．全同粒子 C．场量子 D．费米子
15. 设?不是能量算符?的本征函数，则当体系处于?所描述的状态时，对于能量E的一次测量 ( )
A．不可能得到能量算符的本征值 B．必定得到能量算符的本征值之一 C．可能得到能量算符的本征值之一 D．无有任何意义 16. Pauli原理的正确叙述为( )
A．电子体系的空间波函数对于交换电子必须是反对称的 B．原子中每个电子的运动状态必须用四个量子数来描述 C．同一原子中不可能有四个量子数完全相同的两个电子 D．每个自旋-轨道最多只能容纳自旋方向相反的两个电子 17. 已知一维谐振子的势能表达式为V?12kx，则该体系的定态薛定锷方程为( ) 222??12????1222A． B．??kx???E? ??kx??E??2m?2m?22????2?C．????2?1kx2???E? D．?????2m2??2212???kx???E?
2?2m?18. 在长l=1 nm的一维势箱中运动的He原子，其de Broglie波长的最大值是( )
A．0.5 nm B．1 nm C．1.5 nm D．2.0 nm E．2.5 nm 19. 若
??d??K2，利用下列哪个常数乘?可以使之归一化( )
A． K B． K2 C．1/20.
K
d2????算符pdx22x2作用于函数??x??2n?x的结果是?(x)乘以常数，该常数是( ) sinll
22nhA．?2 B．-?2 C．n2?2 D．
4l221. 描述全同粒子体系状态的完全波函数对于交换其中任意两个粒子的坐标必须是 ( )
A．对称的 B．反对称的 C．非对称的 D．对称或反对称的 22. 在关于一维势箱中运动粒子的?x和?x的下列说法中，不正确的是 ( )
A．?x为粒子运动的状态函数 B．?x表示粒子出现的概率随x的变化情况 C．?x可以大于或小于零，?x无正、负之分 D．当nx概率相同
2图像中的峰会多而密集，连成一片，表明粒子在0
a42 B．?a?12a?1 D．?2?a??21
P??2??? C．P??????P???????2a?4?a?2?2a?a?4??a?A．P???????4?E．题目提法不妥，以上四个答案都不对
224. 立方势箱中的粒子，具有E?12h的状态量子数，nxnynz是( )
8ma2A．211 B．231 C．222 D．213
25. 一个在一维势箱中运动的粒子，其能量随着量子数n的增大( )，其能级差 En+1-En随着势箱长
度的增大( )
A．越来越小 B．越来越大 C．不变 26. 下列算符中不属于线性算符的是( )
A．
d2 B．? C．用常数乘 D．dx E．积分
27. 在长l=1 nm的一维势箱中运动的He原子， 其零点能约为( )
A．16.5×10-24J B．9.5×10-7 J C．1.9×10-6 J D．8.3×10-24J 28.
7h2在一立方势箱中，势箱宽度为l， 粒子质量为m，E?4ml2的能级数和状态数分别是( )
A．5，11 B．6，17 C．6，6 D．5，14 E．6，14
三. 证明与计算题
1. 2. 3. 4.
用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为200kV，计算电子加速后运动时的波长。
欲使中子的德布罗意波长达到154pm，则它们的动能和动量各应是多少
―根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，因而只能求其平均值‖。这种说法对否？为什么？
计算下列粒子的德布罗意波长，并说明这些粒子是否能被观察到波动性。 （1）. （2）. （3）. 5. 6.
弹丸的质量为10g，直径为1cm，运动速率为106m·s-1；
电子质量为9.10?10-28g，直径为2.80?10-13cm，运动速率为106m·s-1；
氢原子质量为1.6?10-24g，直径约为7?10-9cm，运动速率为103m·s-1，若加速到106m·s-1
根据测不准关系，试说明具有动能为50eV的电子通过周期为10-6m的光栅能否产生衍射现象？ 计算德布罗意波长为70.8pm的电子所具有的动能。
7.
d2下列哪些函数是
dx2(1).?(2). ?和
d2xx的共同的本征函数：(1) e，(2) e，(3) 5sinx，(4) sinx+cosx，dx(5)x3。求出本征函数的本征值。 8.
?xe?ax2d2是算符?22?的本征函数，求其本征值； ??4ax??dx2????x的本征函数，求其本征值。 ?Ne?ix是算符p?dθsinθdθ?9.
d2cosθd?的本征函数，若是，本征值是多少？ 5cos3θ?3cosθ是否是算符F????2????2??10. 已知一维势箱粒子的归一化波函数为
??x??2n?xsin,n?1,2,3? ll试比较一维势箱粒子基态(n=1)和第一激发态(n=2)在0.4l~0.6l区间内出现的几率。
11. 函数??x??22sin2?x?32sin?x是否是一维势箱中粒子的一种可能的状态？如果是，其
llll能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？
12. 作为近似， 苯可以视为边长为0.28 nm的二维方势箱， 若把苯中?电子看作在此二维势箱中运
动的粒子， 试计算苯中成键电子从基态跃迁到第一激发态的波长。 13. 已知一维势箱的两个波函数分别为：??1函数是相互正交的。
14. 试计算长度为a的一维势箱中的粒子从n=2跃迁到n=3的能级时，德布罗意长的变化。 15. 一个在一维势箱中运动的电子，其最低跃迁频率是2.0?1014s-1，求一维势箱的长度。
第二章 原子的结构和性质
一. 填空题
2??x?2?2?x?，请证明这两个波
sin??,?2?sin??ll?l??l?1.
?Z?氢原子中电子的一个状态为：??812???a01氢原子的3d????3/2?Zr??3a02??esin?sin2?，则量子数?a??0?2Zrn为____，l为____，m为____，轨道名称为____。 2.
z2状态的能量为______eV。角动量为______，角动量在磁场方向的分量为
_________；它有_____个径向节面，_____个角度节面。 3.
已知氢原子的某一状态波函数为：
?n,l,m?r,?,???126?a0??3/2r?r/2a03e.cos? a02?则此状态角度分布的节面数为____ ，径向节面为_____个。处于该状态时，氢原子的能量为________eV，其角动量的绝对值为|M|=______，此状态角动量在z方向的分量为______，此状态的n，l，m值分别为____________。 4. 5. 6.
已知某一个原子轨道有两个径向节面、一个角度节面，该轨道是_____轨道。 氢原子的一个主量子数为n=4的状态有____个简并态。
氦原子的3dxy状态的能量为________eV，轨道角动量为______，轨道角动量在磁场方向的分量为______；它有____个径向节面，____个角度节面。 7.
氦原子的某一轨道波函数为?n,l,m?r,?,????r?3?a42?a0?01??Zr/2a0?cos?，则轨道能级?e?E=________，轨道角动量的绝对值?M?=________，轨道角动量M与z轴的夹角为_____，该轨道的节面是______平面。 8. 9.
Na(Z=11)的第一电离能为5.14eV，则屏蔽常数?3s为______。
Li原子的哈密顿算符为________________________________________________。
列式形式，自然会满足下述条件：当交换任何一对电子的包含自旋的坐标时， 完全波函数应该是___________。
11. 写出B原子激发态(1s22s12p2)的一个可能的Slater行列式。
12. 原子或分子体系中电子填充三原则为__________________、_________________和
_______________。
13. 写出p1d1组态的所有的光谱项为__________________________________，基态光谱项为____。 14.
4
10. 电子体系的完全波函数可用 Slater 行列式来表示，Slater 行列式的元素是___________。采用行
D光谱项可分裂成____个光谱支项，在磁场中又分裂为____个能级。