杳然3.3时间序列分析
3.3.1时间序列概述 1. 基本概念
(1)一般概念：系统中某一变量的观测值按时间顺序（时间间隔相同）排列成一
个数值序列，展示研究对象在一定时期内的变动过程，从中寻找和分析事物的变化特征、发展趋势和规律。它是系统中某一变量受其它各种因素影响的总结果。
(2)研究实质：通过处理预测目标本身的时间序列数据，获得事物随时间过程的
演变特性与规律，进而预测事物的未来发展。它不研究事物之间相互依存的因果关系。
(3)假设基础：惯性原则。即在一定条件下，被预测事物的过去变化趋势会延续
到未来。暗示着历史数据存在着某些信息，利用它们可以解释与预测时间序列的现在和未来。
近大远小原理（时间越近的数据影响力越大）和无季节性、无趋
势性、线性、常数方差等。
(4)研究意义：许多经济、金融、商业等方面的数据都是时间序列数据。 时间序列的预测和评估技术相对完善，其预测情景相对明确。 尤其关注预测目标可用数据的数量和质量，即时间序列的长度和
预测的频率。
2. 变动特点
(1)趋势性：某个变量随着时间进展或自变量变化，呈现一种比较缓慢而长期的
持续上升、下降、停留的同性质变动趋向，但变动幅度可能不等。
(2)周期性：某因素由于外部影响随着自然季节的交替出现高峰与低谷的规律。 (3)随机性：个别为随机变动，整体呈统计规律。
(4)综合性：实际变化情况一般是几种变动的叠加或组合。预测时一般设法过滤
除去不规则变动，突出反映趋势性和周期性变动。
3. 特征识别
认识时间序列所具有的变动特征，以便在系统预测时选择采用不同的方法。 (1)随机性：均匀分布、无规则分布，可能符合某统计分布。(用因变量的散点图
和直方图及其包含的正态分布检验随机性，大多数服从正态分布。)
(2)平稳性：样本序列的自相关函数在某一固定水平线附近摆动，即方差和数学
期望稳定为常数。
样本序列的自相关函数只是时间间隔的函数，与时间起点无关。其
具有对称性，能反映平稳序列的周期性变化。
特征识别利用自相关函数ACF：ρk=γk/γ0
其中γk是yt的k阶自协方差，且ρ0=1、-1<ρk<1。
平稳过程的自相关系数和偏自相关系数都会以某种方式衰减趋近于0，前者测度当前序列与先前序列之间简单和常规的相关程度，后者是在控制其它先前序列的影响后，测度当前序列与某一先前序列之间的相关程度。
实际上，预测模型大都难以满足这些条件，现实的经济、金融、商业等序列
都是非稳定的，但通过数据处理可以变换为平稳的。 4. 预测类型
(1)点预测：确定唯一的最好预测数值，其给出了时间序列未来发展趋势的一个
简单、直接的结果。但常产生一个非零的预测误差，其不确定程度为点预测值的置信区间。
(2)区间预测：未来预测值的一个区间，即期望序列的实际值以某一概率落入该
区间范围内。区间的长度传递了预测不确定性的程度，区间的中点为点预测值。
(3)密度预测：序列未来预测值的一个完整的概率分布。根据密度预测，可建立
任意置信水平的区间预测，但需要额外的假设和涉及复杂的计算方法。
5. 基本步骤
(1)分析数据序列的变化特征。 (2)选择模型形式和参数检验。 (3)利用模型进行趋势预测。 (4)评估预测结果并修正模型。
3.3.2随机时间序列
系统中某一因素变量的时间序列数据没有确定的变化形式，也不能用时间的确定函数描述，但可以用概率统计方法寻求比较合适的随机模型近似反映其变化规律。(自变量不直接含有时间变量,但隐含时间因素) 1． 自回归AR(p)模型
（R：模型的名称 P：模型的参数）（自己影响自己，但可能存在误差，误差即没有考虑到的因素）
(1)模型形式（εt越小越好，但不能为0：ε为0表示只受以前Y的历史的影响不受其他因素影响）
yt=φ1yt-1+φ2yt-2+……+φpyt-p+εt
式中假设：yt的变化主要与时间序列的历史数据有关，与其它因素无关；
εt不同时刻互不相关，εt与yt历史序列不相关。 式中符号：p模型的阶次，滞后的时间周期，通过实验和参数确定； yt当前预测值，与自身过去观测值yt-1、…、yt-p是同一序列不同时刻的随机变量，相互间有线性关系，也反映时间滞后关系；
yt-1、yt-2、……、yt-p同一平稳序列过去p个时期的观
测值；
φ1、φ2、……、φp自回归系数，通过计算得出的权数，表达yt依赖于过去的程度，且这种依赖关系恒定不变；
εt随机干扰误差项，是0均值、常方差σ2、独立的白噪声序列，通过估计指定的模型获得。 (2)识别条件
当k>p时，有φk=0或φk服从渐近正态分布N(0,1/n)且(|φ
1/2
)的个数≤4.5%，即平稳时间序列的偏相关系数φk为p步截k|>2/n
尾，自相关系数rk逐步衰减而不截尾，则序列是AR(p)模型。 实际中，一般AR过程的ACF函数呈单边递减或阻尼振荡，所以
用PACF函数判别(从p阶开始的所有偏自相关系数均为0)。 (3)平稳条件
一阶：|φ1|<1。二阶：φ1+φ2<1、φ1-φ2<1、|φ2|<1。φ越大，自回归过程的波动影响越持久。 (4)模型意义
仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用，不受模型变量相互独立的假设条件约束，所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性等造成的困难。
2． 移动平均MA(q)模型 (1)模型形式
yt=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θpεt-p (2)模型含义
用过去各个时期的随机干扰或预测误差的线性组合来表达当前预测值。
AR(p)的假设条件不满足时可以考虑用此形式。
总满足平稳条件，因其中参数θ取值对时间序列的影响没有AR模型中参数p的影响强烈，即这里较大的随机变化不会改变时间序列的方向。
(3)识别条件 当k>q时，有自相关系数rk=0或自相关系数rk服从N(0,1/n(1+2∑r2i)1/2)且(|rk|>2/n1/2(1+2∑r2i)1/2)的个数≤4.5%，即平稳时间序列的自相关系数rk为q步截尾，偏相关系数φk逐步衰减而不截尾，则序列是MA(q)模型。
实际中，一般MA过程的PACF函数呈单边递减或阻尼振荡，所以用ACF函数判别(从q阶开始的所有自相关系数均为0)。 (4)可逆条件
一阶：|θ1|<1。二阶：|θ2|<1、θ1+θ2<1。
当满足可逆条件时，MA(q)模型可以转换为AR(p)模型 3． 自回归移动平均ARMA(p,q)模型 (1) 模型形式
yt=φ1yt-1+φ2yt-2+……+φpyt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θpεt-p
式中符号： p和q是模型的自回归阶数和移动平均阶数；
φ和θ是不为零的待定系数；εt独立的误差项； yt是平稳、正态、零均值的时间序列。
(2) 模型含义
使用两个多项式的比率近似一个较长的AR多项式，即其中p+q个数比AR(p)模型中阶数p小。前二种模型分别是该种模型的特例。
一个ARMA过程可能是AR与MA过程、几个AR过程、AR与ARMA过程的迭加，也可能是测度误差较大的AR过程。 (3) 识别条件
平稳时间序列的偏相关系数φk和自相关系数rk均不截尾，但较快收敛到0，则该时间序列可能是ARMA(p,q)模型。实际问题中，多数要用此模型。因此建模解模的主要工作是求解p、q和φ、θ的值，
检验εt和yt的值。 (4) 模型阶数
AIC准则：最小信息准则，同时给出ARMA模型阶数和参数的最佳估计，适用于样本数据较少的问题。目的是判断预测目标的发展过程与哪一随机过程最为接近。因为只有当样本量足够大时，样本的自相关函数才非常接近母体的自相关函数。具体运用时，在规定范围内使模型阶数从低到高，分别计算AIC值，最后确定使其值最小的阶数是模型的合适阶数。
模型参数最大似然估计时AIC=(n-d)logσ2+2(p+q+2) 模型参数最小二乘估计时AIC=nlogσ2+(p+q+1)logn
式中：n为样本数，σ2为拟合残差平方和，d、p、q为参数。 其中：p、q范围上线是n较小时取n的比例，n较大时取logn的倍
数。
实际应用中p、q一般不超过2。
4． 自回归综合移动平均ARIMA(p,d,q)模型 (1)模型识别
平稳时间序列的偏相关系数φk和自相关系数rk均不截尾，且缓慢衰减收敛，则该时间序列可能是ARIMA(p,d,q)模型。 (2)模型含义
模型形式类似ARMA（p,q）模型，但数据必须经过特殊处理。特别当线性时间序列非平稳时，不能直接利用ARMA（p,q）模型，但可以利用有限阶差分使非平稳时间序列平稳化，实际应用中d一般不超过2。
若时间序列存在周期性波动，则可按时间周期进行差分，目的是将随机误差有长久影响的时间序列变成仅有暂时影响的时间序列。 即差分处理后新序列符合ARMA(p,q)模型，原序列符合ARIMA(p,d,q)模型。
3.3.3建模解模过程 1. 数据检验
检验时间序列样本的平稳性、正态性、周期性、零均值，进行必要的数据处理变换。
(1)作直方图：检验正态性、零均值。
按图形Graphs—直方图Histogram的顺序打开如图3.15所示的对话框。
图3.15
将样本数据送入变量Variable框，选中显示正态曲线Display normal curve
项，点击OK运行，输出带正态曲线的直方图，如图3.16所示。
121086420-3.00-2.00-1.00-.500.00.501.001.502.002.50-2.50-1.50Std. Dev = 1.30 Mean = -.03N = 48.00样本数据 图3.16
从图中看出：标准差不为1、均值近似为0，可能需要进行数据变换。 (2)作相关图：检验平稳性、周期性。 按图形Graphs—时间序列Time Series—自相关Autocorrelations的顺序打开如图3.17所示的对话框。
图3.17
将样本数据送入变量Variable框，选中自相关Autocorrelations和偏自相关Partial Autocorrelations项，暂不选数据转换Transform项，点击设置项Options，出现如图3.18所示对话框。
图3.18