关于椭圆与双曲线对偶性质的重要结论 (1)共12页

点的弦,M为AB的中点,则kOM?kAB证明:设A(xA,yA),B(xB,yB),则M(b2?2a.

xA?xByA?yB?), 2222222222xA?xbxAyAxByByA?yB又2?2?2?2?2?2ababab,∴KOMKABb2?2 ax2y29.(1)若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内,则被abx0xy0yx02y02?2?2?2a2babP0所平分的中点弦的方程是

.

证明:设中点弦交椭圆一个定点为A(m,n),则另一个为B(2x0?m,2y0?n)

①-②得:

22x0?x0my0?y0n ??a2b22y0?2ny0?nb2x0又kAB? ???2x0?2mx0?my0a2∴弦AB

22b2x0yy0xx0y0x0方程为y?y0??2(x?x0)?2?2?2?2

y0ababa证明二:由第9题得:kAB?kOP∴弦AB

0b2x0b2b2y0??2?kAB??2???2aax0ay0,

22b2x0yy0xx0y0x0方程为y?y0??2(x?x0)?2?2?2?2

y0ababax2y2(2)若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1(a>0,b>0)内,则被abP0所平分的

中点弦的方程是

x0xy0yx02y02?2?2?2a2bab. 证明:设中点弦交双曲线一个交点A(m,n),则另一个B(2x0?m,2y0?n)

又K

2y0?2nb2x0弦??2x0?2my0a2,

22b2x0x0xy0yx0y0∴方程为y?y0?2(x?x0)?2?2?2?2

y0aababx2y210.(1)若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内,则过abx2y2x0xy0y??2?2a2b2abP0的弦中点的轨迹方程是

.

证明:设弦交椭圆于P1(x1,y1),P2(x2,y2)中点S(m,n).

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m2n2x0my0n∴?mb?mx0b?na?ny0a?2?2?2?2

abab222222x2y2x0xy0y即2?2?2?2abab.

x2y2(2)若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1(a>0,b>0)内,则过

abx2y2x0xy0y的轨迹方程是2?2?2?2.

ababP0的弦中点

证明:设弦与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),中点S(m,n)

x2y2x0xy0y即2?2?2?2 ababx2y211.(1)过椭圆2?2?1 (a>0, b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜ab角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且kBC(常数).

证明:设两直线与椭圆交于点(x1,y1)  (x2,y2).

由题意得①=②

22?(y1y2?y0y2?y0y1?y0)a2?(x1x2?x2x0?x1x0?x0)b2 ③?展开? 2222(yy?yy?yy?y)a?(xx?xx?xx?x)b ④?010201210200?12b2x0?2ay0③-④得:

y1?y2b2x0??KBC(定值) x1?x2a2y0x2y2(2)过双曲线2?2?1(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾ab斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且

kBCb2x0??2ay0(常数).

证明:设两直线与双曲线交于点(x1,y1),(x2,y2),则

由题意得①=-②

22?(y1y2?y0y2?y1y0?y0)a2?b2(x1x2?x0x2?x0x1?x0)?0?展开?2222??(y1y2?y0y1?y0y2?y0)a?b(x1x2?x0x1?x0x2?x0)?0③④

b2x0y1?y2??2?KBC(定值) ③-④?x1?x2ay0第 6 页


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