loading§1.7 无穷小的比较 §1? 8 函数的连续性与间断点
授课次序07
教 学 基 本 指 标 教学课题 §1.7 无穷小的比较 §1? 8 函数的连续性与间断点 教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学 等价无穷小的应用、分段函数连续性教学难点 的判断 教学重点 等价无穷小、函数连续性 参考教材 双语教学 课堂教学目标 同济大学编《高等数学（第6版）》 自编教材《高等数学习题课教程》 作业布置 《高等数学》标准化作业 无穷小：infinitesimal；函数：function；连续性：continuity；连续函数：continuous function ； 左连续：continuity from the left；间断点：discontinuity point 1． 了解高阶无穷小、等价无穷小的概念，掌握应用等价无穷小求极限的方法 2． 掌握函数连续性的判断 3． 了解间断点的类型及其判断 1．无穷小的比较（45min），着重介绍等价无穷小的概念及等价无穷小代换定理； 教学过程 2．连续性的概念（20min） 3．间断点（25min） 本 节 教 学 设 计 函数的连续性 1．背景及引入方法 函数的连续性，在几何直观上看，就是函数的图形曲线没有间断.与极限概念一样,函数的连续概念也是微积分最基本概念之一.函数的连续理论作为数学分析严格化的基本内容, 其发展与完善同样经历了相当长的一段时间. 1817年, 捷克数学家波尔查诺 ( Bolzano Bernard , 1781一1848) 在他的名著《纯粹分析的证明》中给出了函数连续性的现代定义方式. 法国数学家柯西 ( Cauchy Augustin Louis,1789一1857) 是19世纪微积分严格化最有影响的先驱者, 其最大贡献就是在微积分中引进了清晰和严格的表述与证明方法. 他在这方面有三部代表作: 《分析教程》( 1821年)、《无穷小分析教程概论》( 1823年) 和《微分计算教程》( 1829年). 柯西在其著作中给出了函数的连续性定义: “设f(x)是变量x的函数, 且设介于两个给定限之间的每个x 值,该函数总有一个唯一的有限值. 如果在这两个给定限之间有一个x 值, 当变量x 获得一个无限小增量α, 函数本身将增加一个差量 f (x+α)一f (x), 这个差同时依赖于新变量α与原变量x的值.然后, 如果对变量x在两给定限之间的每个中间值, 差f (x+α)一f (x)的绝对值都随α的无限减小而无限减小, 那么就说函数f (x)是变量x在这两个限之间的连续函数. 换言之, 如果在这两个限之间变量x的每个无限小增量总产生函数f(x)本身的一个无限小增量，则函数f (x) 在给定限之间关于x保持连续。进一步, 我们说函数f (x)是变量x在x的某个特殊值的邻域内的连续函数, 如果它在包含该x值的任意接近的两限之间连续.” 被数学界誉为“现代分析之父”的德国数学家外尔斯特拉斯 ( Karl Weierstrass, 1815一1897 ) 是微积分严格化的又一功臣. 他希望建立一种不依赖于直观的纯粹的算术化的微积分. 1861 年在其数学笔记中他首次使用“ε一δ” 语言定义函数的连续性: “如果f (x)是x的函数,且x是一个确定的值,则若x变至x+h, 函数就会变至f (x+h), 差f (x+h) - f (x)称为该函数由自变量x到x+h的改变所产生的改变量. 现在如果能对h确定一个界限δ, 使对其绝对值小于δ的所有h值, f (x+h) - f (x)变得小于无论怎样小的任一量, 则称自变量的无穷小改变对应出函数的无穷小改变. 因为如果一个量的绝对值能变得小于任意选取的无论怎样小的量,则我们说它能变为无穷小. 现在如果一个函数对自变量的无穷小变化, 总对应出函数的无穷小改变, 则称它为此自变量的连续函数, 或称它随着此自变量连续地改变.” 现在微积分教材中关于函数的连续性的“ε一δ”定义就是根据外尔斯特拉斯的“ε一δ”型定义稍加改写而成的. 连续函数具有很强的几何直观.因此讲授此知识点可以采取叙述与几何相联系以及与函数的极限相比较的方法. 重在理解连续概念. 2． 常见错误分析 常见的错误有 (1)不能正确理解不(左、右)连续的含义, (2) 分段函数在段点情况, (3) 将间断点的具体说法，如可去、无穷等与间断点的类型相混淆. 3. 与其他知识点的关联 它与以下知识点都有密切联系. （1）函数的极限 （2）函数在闭区间上的性质 （3）函数的可导性. 教 学 基 本 内 容 §1? 7 无穷小的比较 2sinx?1? ??lim 观察两个无穷小比值的极限? limx?0? lim3x? x?03xx?0x2x?0x备注栏 两个无穷小比值的极限的各种不同情况? 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度? 在x?0的过程中? x2?0比3x?0“快些”? 反过来3x?0比x2?0“慢些”? 而sin x?0与x?0“快慢相仿”? 下面? 我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时? 来说明两个无穷小之间的比较? 定义? 设?及?都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小? 如果lim如果lim如果lim??0? 就说?是比?高阶的无穷小? 记为??o(?)? ????? 就说??是比??低阶的无穷小? ???c?0? 就说??与??是同阶无穷小? ? 如果lim 如果lim??c?0? k>0? 就说?是关于?的k阶无穷小? ?k??1? 就说?与?是等价无穷小? 记为?~??? ?2 下面举一些例子? 例1? 因为lim3x?0? 所以当x?0时? 3x2是比x高阶的无穷小? 即3x2?o(x)( x?0)? x?0x111 例2? 因为limn??? 所以当n??时? 是比2低阶的无穷小? n??1nnn2 例3? 因为limx?9?6? 所以当x?3时? x2?9与x?3是同阶无穷小? x?3x?32x?1? 所以当x?0时? 1?cos x 是关于x 的二阶无穷小? 例4? 因为lim1?cos2x?0x2例5? 因为limsinx?1? 所以当x?0时? sin x 与x是等价无穷小? 即sin x ~ x (x ?0)? x?0x 关于等价无穷小的有关定理? 定理1 ?与?是等价无穷小的充分必要条件为????o(?)? 证明 必要性 设? ~ ?? 则lim因此 ????o(?)? 即 ????o(?)? 充分性 设????o(?)? 则 lim??????lim(?1)?lim?1?0? ??????o(?)o(?)?lim?lim[1?]?1? 因此?~?? ??? 例6? 因为当x?0时sin x~x? tan x~x? 1?cos x~1x2? 所以当x ?0时? 有 2sin x ?x?o(x)? tan x ?x?o(x)? 1?cos x ?1x2?o(x2)? 2 定理2 设?~? ?? ?~? ?? 且lim 证明? lim?????存在? 则lim?lim? ???????????????????lim???lim?lim?lim?lim? ????????????? 定理2表明? 求两个无穷小之比的极限时? 分子及分母都可用等价无穷小来代替? 因此? 如果用来代替的无穷小选取得适当? 则可使计算简化? 例?? 求limtan2x? x?0sin5x 解? 当x?0时? tan 2x ~ 2x ? sin 5x ~ 5x? 所以limtan2x?lim2x?2? x?0sin5xx?05x5x? 例?? 求limsinx?0x3?3x 解? 当x?0时sin x~x? 无穷小x3?3x与它本身显然是等价的? 所以 limsinxx11?lim?lim?? x?0x3?3xx?0x2?3x?0x2?33