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第6讲 图形与面积
一、直线图形的面积
在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法, 数学竞赛中的面积问题不但具有直观性, 而且变换精巧, 妙趣横生, 对开发智力、发展能力非常有益。 图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。它有如下两条性质：
1．两个可以完全重合的图形的面积相等；
2．图形被分成若干部分时, 各部分面积之和等于图形的面积。 对图形面积的计算, 一些主要的面积公式应当熟记。如：
正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高； 三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。 此外, 以下事实也非常有用, 它对提高解题速度非常有益。 1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积； 2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积； 3．平行四边形的对角线平分它的面积； 4．等底等高的两个三角形面积相等。 解决图形面积的主要方法有：
1．观察图形, 分析图形, 找出图形中所包含的基本图形；
2．对某些图形, 在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）； 3．作出适当的辅助线, 铺路搭桥, 沟通联系； 4．把图形进行割补（叫做割补法）。
例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？
解：最容易想到的是将△ABC的底边4等分, 如左下图构成4个小三角形, 面积都为原来的三
1角形面积的。
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另外, 先将三角形△ABC的面积2等分（如右 上图）, 即取BC的中点D, 连接AD, 则S△ABD=S△ADC, 然后再将这两个小三角 形分别2等分, 分得的4个小三角形各
1自的面积为原来大三角形面积的。还
4有许多方法, 如下面的三种。请你再想出几种不同的方法。
例2 右图中每个小方格面积都是1cm2, 那么六边形 ABCDEF的面积是多少平方厘米？
分析：解决这类问题常用割补法, 把图形分成几个简单 的容易求出面积的图形, 分别求出面积。
也可以求出六边形外空白处的面积, 从总面积中减去空
白处的面积, 就是六边形的面积。 解法1：把六边形分成6块：
△ABC, △AGF, △PEF, △EKD, △CDH和正方形GHKP。用S表示三角形面积, 如用S△ABC表示△ABC的面积。
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11 故六边形ABCDEF的面积等于6+2+1++4+9=22(cm2)
22 说明：当某些图形的面积不容易直接计算时, 可以把这个图形分成几个部分, 计算各部分的面积, 然后相加, 也就是说, 可以化整为零。
解法2：先求出大正方形MNRQ的面积为6×6=36（cm2）。
说明：当某些图形的面积不易直接计算时, 可以先求出一个比它更大的图形的面积, 再减去比原图形多的那些（个）图形的面积, 也就是说, 先多算一点, 再把多算的部分减去。
解法3：六边形面积等于
11111 S△ABC+S梯形ACDF-S△DEF=6×2×+（3+6）×4×-3×1×=6+18-1=22(cm2)
22222 说明：“横看成岭侧成峰, 远近高低各不同”, 从不同的角度去观察同一个图形, 会对图形产生不同的认识。一种新的认识的产生往往会伴随着一种新的解法。做题时多想一想, 解法就会多起来, 这对锻炼我们的观察能力与思考能力大有益处。
例3 如下图所示, BD, CF将长方形ABCD分成4块, △DEF的面积是4cm, △CED的面积是6cm。 问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
解：如下图, 连结BF。则△BDF与△CFD面积相等,
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减去共同的部分△DEF, 可得△BEF与△CED面积相等, 等于6cm2。
四边形ABEF的面积等于
S△ABD-S△DEF=S△BDC-S△DEF=S△BCE+S△CDE-S△DEF=9+6-4=11（cm2）。
问：两块红色图形的面积和与两块蓝色图形的面积和, 哪个大？
分析：只需比较△ACE与△BDF面积的大小。因 为△ACE与△BDF的高相等（都是CD）, 所以只需比 较两个三角形的底AE与BF的大小。
因为△ACE与△BDF高相等, 所以S△ACE＞S△BDF。
减去中间空白的小四边形面积, 推知两块红色图形的面积和大于两块蓝色图形的面积和。
例5 在四边形ABCD中（见左下图）, 线 段BC长6cm, ∠ABC为直角, ∠BCD为135°, 而且点A到边CD的垂线段AE的长为12cm, 线 段ED的长为5cm, 求四边形ABCD的面积。
解：延长AB, DC相交于F（见右上图）, 则∠BCF=45°, ∠FBC=90°, 从而∠BFC=45°。
因为∠BFC=∠BCF, 所以BF=BC=6（cm）。
在Rt△AEF中, ∠AFE=45°, 所以∠FAE=90°-45°=45°, 从而EF=AE=12（cm）。
故S四边形ABCD=S△ADF-S△BCF=102-18=84（cm2）。
说明：如果一个图形的面积不易直接求出来, 可根据图形的特征和题设条件的特点, 添补适当的图形, 使它成为一个新的易求出面积的图形, 然 后利用新图形面积减去所添补图形的面积, 求出原图形面积。 这种利用“补形法”求图形面积的问题在国内外初中、小学 数学竞赛中已屡见不鲜。
例6 正六边形ABCDEF的面积是6cm2, M, N, P分别是所
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