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?y?x,?例1 (2006天津高考，理3文3)设变量x、y满足约束条件?x?y?2,则目标函数z=2x+y
?y?3x?6,?的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.9 思路解析：首先根据条件画出不等式组所表示的平面区域,然后画出一组与2x+y=0平行的直线经过平移即可得到对应的最优解.
如图3-5-1,在坐标系中画出可行域△ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则当(x,y)为B点时,目标函数z=2x+y的最小值为3.
图3-5-1
答案：B
绿色通道：根据不等式组表示的平面区域画出平面区域,写出目标函数,画出与目标函数平行的一组直线,在可行域内平行移动即可得出目标函数的最大值和最小值.
?x?y?10,?变式训练1 (2006山东高考，文12)已知x和y是正整数，且满足约束条件?x?y?2,则
?2x?7,?z=2x+3y的最小值是( )
A.24 B.14 C.13 D.11.5
思路解析：画出可行域：如图3-5-2所示,易得B点坐标为（6，4）,且当直线z=2x+3y过点B时z取最大值，此时z=24.点C的坐标为（3.5，1.5），当直线过点C时z取得最小值，
图3-5-2 但x，y都是整数，最接近的整数解为（4，2）， 故所求的最小值为14. 答案：B
?x?0,?y?0,?变式训练2 (2006广东高考，9)在约束条件?下，当3≤x≤5时，目标函数z=3x+2y
?y?x?s,??y?2x?4
的最大值的变化范围是( )
A.［6,15］ B.［7,15］ C.［6,8］ D.［7,8］ 思路解析：如图3-5-3所示,由?A(2,0),B(4-s,2s-4),C(0,s),C′(0,4)，
?x?y?s?x?4?s,两直线及与坐标轴的交点为???y?2x?4?y?2s?4.
图3-5-3
（1）当3≤s＜4时,可行域是四边形OABC，此时，当直线经过B点时取最大值,且7≤z＜8.（2）当4≤s≤5时,可行域是△OAC′,此时，zmax=8. 答案：D
例2 画出2x-3＜y≤3表示的平面区域，并求出所有的正整数解. 思路分析：首先把不等式转化为一个不等式组?可行域找出整点. 解：由于2x-3＜y≤3???2x?3?y,画出对应的平面区域,然后根据
y?3,??2x?3?y,
?y?3.平面区域如图3-5-4所示：
图3-5-4
而其中的正整数解为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，2）、（2，3）共5组.
黑色陷阱：如果不考虑等号与曲线的虚实很容易画出如图3-5-5所示的平面区域图：
图3-5-5
从而得到正整数解为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，3）共7组.其错误的主要原因是没有注意到边界y=2x-3是虚线，从而导致后续解答的错误.
变式训练 (2006山东高考，理11)某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束
?5x?11y??22,?条件?2x?3y?9,则z=10x+10y的最大值是( )
?2x?11,?A.80 B.85 C.90 D.95 思路解析：画出可行域,如图3-5-6所示：
图3-5-6
易得A（5.5，4.5）.∵x∈Z,y∈Z,∴当直线z=10x+10y过(5,4)点时，z取得最大值，此时z=90. 答案：C
?x?1,?例3 (2006湖南高考，理12)已知?x?y?1?0,则x2+y2的最小值是________________.
?2x?y?2?0,?思路解析：画出不等式组所表示的可行域，注意式子x2+y2的几何意义:可行域内一点M到坐标原点O的距离的平方，利用数形结合解决相关问题.
?x?1,?由?x?y?1?0,画出可行域如图3-5-7所示，得交点A(1，2)，B(3，4)，则x2+y2的最小?2x?y?2?0,?值是5.
图3-5-7
答案:5
绿色通道：在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.应熟练掌握以下式子的几何意义： （1）形如
y?b的式子，表示动点M(x,y)和定点N(a,b)连线的斜率k. x?a22（2）形如(x?a)?(y?b)的式子，表示动点M(x,y)到定点N(a,b)的距离|MN|；而
(x-a)2+(y-b)2表示动点M(x,y)到定点N(a,b)的距离的平方，即|MN|2. （3）形如
|ax?by?c|a?b22的式子，表示动点M(x,y)到直线ax+by+c=0的距离d；而|ax+by+c|
表示a2?b2d.
黑色陷阱：混淆x2+y2的几何意义，把它看成可行域内一点M到坐标原点O的距离.在解决相关问题时，一定先搞清式子的几何意义.
?x?y?2?0,?变式训练1 (2006浙江高考，文9理4)在平面直角坐标系中，不等式组?x?y?2?0,表
?x?2?示的平面区域的面积是( )
A.42 B.4 C.22 D.2 思路解析：如图3-5-8所示,由题知可行域为△ABC，S△ABC=
|4?0|?2=4. 2
图3-5-8
答案：B
?x?y?4,?
变式训练2 (2006北京高考，理13文14)已知点P(x,y)的坐标满足条件?y?x,点O为
?x?1,?
坐标原点，那么|PO|的最小值等于_____________,最大值等于_____________. 思路解析：画出可行域，如图3-5-9所示：
图3-5-9
易得A（2，2），OA=22.
B（1，3），OB=10.C（1，1），OC=2. 所以|OP|的最大值为10，最小值为2.