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天体做椭圆运动的解题方法和技巧
张阿兵
1. 必备的理论知识
( 1 ) 机械能守恒定律：运动天体的动能Ek?12GMmmv，引力势能Ep??(选无穷远处为势能零点，M为中心天体的质量)。2r不管运动天体绕中心天体做匀速圆周运动还是椭圆运动，运动过程中这两项能量的总和保持不变 。
( 2 ) 动量守恒定律：常在运动天体变轨问题中用到，如沿运动方向喷出一定质量的气体。喷气前后系统动量守恒。 ( 3 ) 角动量守恒定律：角动量也可称动量矩，质量为m的物体绕某点0转动时，在离该点距离r 处的角动量大小是L?mvrsin?，其中?是速度与矢径r的夹角。在天体的运动轨道上(一般用于椭圆轨道，因为圆周运动不必要这样处理)任选两个位置角动量相等。 注意：考虑到高中不涉及角动量守恒定律，所以该条用开普勒第二定律代替。 ( 4 ) 开普勒三定律：
第一定律：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上。 第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。(等同于角动量守恒) 第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。 ( 5 ) 认识椭圆如图：椭圆面积s??ab
2. 天体做椭圆运动时最常用的机械能守恒和开普勒第二定律（角动量守恒）的方程
组(最好能熟练求解)
应用：例1：关于近地点和远地点速度的求解：
1GMm1GMmmv12??mv22? ① 2a?c2a?c开普勒第二定律：在近日点、远日点附近取极短时间?t，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等，如图中阴影部分。
解法1（能量法）：机械能守恒有：
根据开普勒第二定律，这两部分面积相等：
11??t?v1?(a?c)???t?v2?(a?c)（v1为近日点速度，v2为远日点速度） 22（由于?t?0所以，这两部分可视为扇形）
?v1(a?c)?v2(a?c) ②
联立①②得：
v1?(a?c)GM(a?c)a v2?(a?c)GM(a?c)a ?a2?b2?c2
?v1?bGMa?ca v2?bGMa?ca
解法2（轨迹方程法）：该解法的指导思想是对椭圆的轨迹方程求导,并结合一般曲线的曲率半径通式求出近日点和远日点的曲率半径表达式,然后利用万有引力提供向心力列方程求解. 如图1所示,椭圆的轨迹方程为
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