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灰色预测GM(1，1)模型的Matlab实现
朱登远1，常晓凤2
【摘 要】 介绍了GM(1，1)模型的基本原理和建模步骤，利用Matlab实现了程序化、智能化的灰色预测GM(1，1)模型。通过实例验证了其能够快速、精确地进行计算，可以帮助工程人员对所得数据进行准确性分析和预测。 【期刊名称】河南城建学院学报 【年(卷),期】2013(022)003 【总页数】7
【关键词】 灰色预测;GM(1，1)模型;Matlab;算法;精度检验
灰色系统理论是20世纪80年代由我国邓聚龙教授提出的一种数学方法，可用来解决小样本的信息不完备系统的复杂问题，在岩土工程中得到了广泛关注［1－2］。如果有一个程序能够使工程人员只需输入数据，而不需编写计算公式，就可以得到分析预测结果，将会使灰色系统理论更好地应用在岩土工程中，因此有必要对其进行编程和算法实现，使其程序化、智能化。
在Matlab语言系统中，几乎所有的操作都是以矩阵操作为基础，而在灰色模型预测过程中，需要进行大量的矩阵运算，Matlab在这方面显示了独到之处。将Matlab和灰色模型结合，可以实现系统预测，提高计算的效率［2］。国内外学者结合相关领域做了一些研究并取得了很大进展。张艳萍［3］研究了基于Matlab的灰色系统预测，并结合广东省批发零售业预测进行了GM(1，1)模型的Matlab实现;曹玉珍［4］进行了基于Matlab的GM(1，1)模型在广州市降尘预测中的应用研究;彭利平［5］进行了基于Matlab的GM(1，1)模型在机械工业中的应用研究;李朝阳［6］进行了基于Matlab的GM(1，1)模型的大气污
染物浓度预测;梁智勇［7］用Matlab实现了GM(1，1)模型的供电量预测;陈刚［2］研究了GM(1，1)模型在建筑物沉降预测中的应用及Matlab实现;唐丽芳［8］和周亚非［9］分别结合某高校教师人数预测和住宿餐饮业收入增加值预测研究了GM(1，1)模型的Matlab实现及其应用。虽然这些学者都对GM(1，1)模型进行了研究，并在此基础上给出了对应的Matlab算法，但由于各种原因，算法表达各不相同、不够全面且不规范，其正确性没有得到很好验证，有的算法用Matlab运行出现错误，无法使用。笔者在此基础上研究分析，综合其优点、改正不必要的细节和错误，重新整理编写GM(1，1)模型Matlab算法，以增强Matlab在GM(1，1)模型灰色预测中的实用性和通用性，方便工程人员使用。
1 GM(1，1)模型原理
灰色预测GM(l，l)模型是一个拟微分方程的动态系统［10］，其建模的实质是对原始数据先进行一次累加生成，使生成的数据序列呈现一定规律，而后通过建立一阶微分方程模型，求得拟合曲线，用以对系统进行预测。具体过程如下： (1)给定原始序列 (2)1－AGO生成序列 其中x(1)(k)= (3)紧邻均值生成序列 (4)建立灰色微分方程 其中a、u为未知参数，记为 (5)对应的白化方程为 (6)解的离散化形式为
(7)I－AGO还原序列
2 模型精度检验
(1)残差检验。 绝对残差序列 相对残差序列 平均误差 (2)后验差检验。
原始数据的平均值、均方差计算 绝对残差的平均值、均方差计算 后验差比值计算 小误差概率计算 (3)关联度检验。
3 Matlab算法实现 4 应用实例分析
为了检验GM(1，1)模型的Matlab算法正确性与通用性，选用以下两个实例进行验证。
实例1：已知有11个月的某建筑物沉降观测数据，现建立GM(1，1)模型，进行模型精度检验，并对12 月份的沉降量进行预测，实际观测数据如表 2 所示。显然，x0=［4.8，5.2，5.4，5.1，5.9，7.6，7.9，8.0，8.6，8.5，9.1］，x=［1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12］。
Matlab 运行结果：xx0=［4.800 0，5.176 7，5.536 8，5.921 9，6.333 9，6.774 5，7.245 7，7.749 8，8.288 9，8.865 5，9.482 2，10.141 8］，e0=