loading三角形四心的一种向量表示
山西 大同机车中学 李学军
几个记法：在△ABC中，O是其内部（不包括边界）一点，连结AO并延长交BC于D，
C连结BO并延长交CA于E，连结CO并延长交AB于F。
记：AF?tABFB，BD?tBCDC，CE?tCAEA；
EOAFBDAE?tACEC，CD?tCBDB，AE?tACEC；
且有：tAB?tBA?tAC?tCA?tBC?tCB?1 记：AO??AAD，BO??BBE，CO??CCF 引理1.线段的定比分点的向量关系式 （1）AD?图1
1AB?tBCAC
1?tBC1?tBC (1.1.1)；
BE?1BC?tCABA；
1?tCA1?tCA (1.1.2)
CF?1CA?tABCB。
1?tAB1?tAB (1.1.3)
（2）若AF??ABAB，BD??BCBC，CE??CACA，则有：
AD?(1??BC)AB??BCAC BE?(1??CA)BC??CABA； CF?(1??AB)CA??ABCB。
证明：只证明（1.1.1），其它同理。 ∵BD?tBCDC ∴BD?
(1.2.1)； (1.2.2) (1.2.3)
tBCBC则有
1?tBCAD?AB?BD?AB??AB??tBCBC1?tBCtBC
(AC?AB)1?tBC1AB?tBCAC1?tBC1?tBCtABtACtABAB?AC
?tAC?1tAB?tAC?1
(2.1.1)
引理2.AO??A?tAB?tAC
tAB?tAC?1 (2.1.2)
BO?tBCtBCtBABC?BA
?tBA?1tBC?tBA?1
(2.2.1)
?B?tBC?tBA
tBC?tBA?1 (2.2.2)
CO?tCAtCBCA?CB
tCA?tCB?1tCA?tCB?1 (2.3.1)
?C?tCA?tCBtCA?tCB?1
(2.3.2)
且有?A??B??C?2
证明：
(2.4)
∵点B、O、E共线，且BO??BBE ∴AO?(1??B)AB??BAE?(1??B)AB??B?tACAC ………………①
1?tAC同理，∵点C、O、F共线，且CO??CCF ∴AO?(1??C)AC??CAF?(1??C)AC??C?tABtAB??C?ABAB?(1??C)AC 1?tAB1?tAB………………②
1?tACtAB??1??????BCB??1?tAB1?tAB?tAC??∴?，解得：?
tAC?????1?tAB?1??CBC1?tAB?tAC???1?tAC? ………………③
③代入①得：
AO?(1?1?tAC1?tACt)AB??ACAC
1?tAB?tAC1?tAB?tAC1?tAC?tABtACtABAB?AC
?tAC?1tAB?tAC?11AB?tBCAC
1?tBC1?tBC又由引理1：AD?tABtAB?tAC?1tAB(1?tBC)???AO与AD共线得：A1tAB?tAC?1 1?tBC由塞瓦定理得：tBC?tAB?tAC1?tAC??代入上式得：A………………④
tCA?tABtABtAB?tAC?1tAB?tAC1?tAC1?tAB???2
1?tAB?tAC1?tAB?tAC1?tAB?tAC1AB?1AC，且AO?2AD.
333由③④得?A??B??C?式(2.2.1)、(2.2.2)、(2.3.1)、(2.3.2)可同理证明。 定理1. 若O是三角形ABC的重心，则AO?当O为三角形ABC的重心时，有tAB?tAC?1，代入引理2可得。 定理2. 若O是三角形ABC的内心，则AO?且AO?bcAB?AC，
a?b?ca?b?cb?cAD.
a?b?c当O为三角形ABC的内心时，内三角形的内角平分线定理，有tAB?2可得。
定理3. 若O是三角形ABC的垂心，则：
bc,tAC?，代入引理aaAO?cotA?(cotC?AB?cotB?AC).
且AO? (3.1)
cosA?AD.
sinBsinC证明：
当三角形不为直角三角形时
O为三角形ABC的垂心时，有：tAB?bcosA,t?ccosA，代入引理2有： acosBACacosCbcosAccosAacosBacosCAO?AB?AC= bcosA?ccosA?1bcosA?ccosA?1acosBacosCacosBacosCbcosAcosCccosAcosBAB?ACacosBcosC?bcosAcosC?ccosAcosBacosBcosC?bcosAcosC?ccosAcosB再由正弦定理得：a?2RsinA,b?2RsinB,c?2Rsinc
代入上式，分子、分母同除以2RsinAsinBsinC， 可得：AO?cotA?cotC?AB?cotA?cotB?AC。 把tAB?bcosA,t?ccosA，代入引理2整理得：AO?cosA?AD acosBACacosCsinBsinC若三角形为直角三角形，
当A为直角时，△ABC的垂心即为点A，所以AO?0，而cotA=0，故（3.1）成立 当B为直角时，△ABC的垂心即为点B，AO?AB，cotB=0，（3.1）成立； 当C为直角时，△ABC的垂心即为点C，AO?AC，cotC=0，（3.1）成立。 引理3.OA?tABOB?tACOC?0 证明：由引理2：OA??tABtACtABAB?AC
?tAC?1tAB?tAC?1OB??tBCtBCtBABC?BA
?tBA?1tBC?tBA?1=?tBCtBCtBA(AC?AB)?AB
?tBA?1tBC?tBA?1=(tBA?tBCtBC)AB?AC
tBC?tBA?1tBC?tBA?1，tBC?1t?由前边的记法及由塞瓦定理得：BAtABOB?tAC?1tACAB?AC
tAB?tAC?1tAB?tAC?11?tAC代入上式得：
tCAtABtAB同理：OC??tABtABtAB?1AB?AC
?tAC?1tAB?tAC?1由平面向量的基本定理，可设OA?xOB?yOC
????tAB于是有：?????tABtAC?1tABtAB?x??y??tAC?1tAB?tAC?1tAB?tAC?1tACtACtAB?1??x??y??tAC?1tAB?tAC?1tAB?tAC?1