loading第一章人力资源规划
新疆农业大学
专业文献综述
题目: 姓名: 学院:
几个一阶微分方程解法之间的关系 盛园甲 数理学院 数学与应用数学 052班 054131215 刘书新职称:讲师
专业: 班级: 学号:
师:
指导教
2008年12月29日
新疆农业大学教务处制
几个一阶微分方程解法之间的关系 作者：盛园甲指导教师：刘书新
摘要：本文主要介绍了可分离变量方程，一阶线性方程，恰当方程的解法，和它们解法之间的关
系。
关键词：可分离变量方程，恰当方程，积分因子法。 引言：
随着常微分方程在实际生产、生活中表现出重要的应用性,因此研究常微分方程的解题方法也变
得十分必要。一般的一阶方程是没有初等解法的，本文就在与介绍若干有初等解法的方程类型和求解的
页脚内容1
第一章人力资源规划
方法，及它们解法之间的关系，在文献[1]中给出了三种常见的常微分方程及其解法：
一：可分离变量方程 形如
dy?f(x)?(y)(1.1) dx的方程，称为可分离变量方程，这里f(x)，?(y)分别是x,y的连续函数。 现在说明方程(1.1)的求解方法。 如果?（y）?0,我们可将(1.1)写成
这样，变量就“分离”开来了，两边分别积分，得到
dy??(y)??f(x)dx?c(1.2)
dy1，?f(x)dx分别理解为，f(x)的某一个原?(y)?(y)这里我们把积分常数c明确写出来，而把?函数，如无特别声明，以后也做这样的理解。
把(1.2)作为确定y是x的隐函数的关系式，于是，对于任一常数c，微分(1.2)的两边，就知(1.2)
所确定的隐函数y=y(x,c)满足方程(1.1)，因而(1.2)是(1.1)的通解。
如果存在?(y0)?0，直接带入，可知y=y0也是(1.1)的解。 二：一阶线性方程
一阶线性微分方程可以写成
dy?p(x)y??(x)（2.1） dx这里p(x)，?(x)是x的连续函数。 若?(x)?0，则（2.1）变为
页脚内容2
第一章人力资源规划 dy?p(x)y（2.2） dx（2.2）称为一阶线性齐次方程；
若?(x)?0，则称（2.1）为一阶非齐次方程。
（2.2）是变量分离方程，可用求变量分离方程解的方法求的通解为
y?ce?p(x)dx(2.3)
这里c是任意常数。
现在讨论非齐次线性方程（2.1）的通解的求法。不难看出，（2.2）是（2.1）的特殊形式，两者
既有联系又有区别，因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有区别。我们试图利用方程（2.2）的通解（2.3）的形式去求方程（2.1）通解，显然（2.3）中c恒保持为常数，它必不可能是（2.1）的解，我们设想：（2.3）中，将常数c变易为待定函数c(x)，使它满足方程（2.1），从而求得c(x)。
为此，令
y?c(x)e?微分得
p(x)dx(2.4)
dydc(x)?p(x)dx(2.5) ?edxdx将(2.4)，(2.5)代入(2.1)，得到
p(x)dxp(x)dxdc(x)?p(x)dxe?c(x)p(x)e??p(x)c(x)e??Q(x)(2.6) dx从而
积分后即可求得
c(x)??Q(x)e??p(x)dxdx?c1(2.7)
这里c1是任意常数，将(2.7)代入(2.4)，得到
y?e?p(x)dx(?Q(x)e??p(x)dxdx?c1)(2.8)
页脚内容3