loading精心制作仅供参考 鼎尚出品
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1.掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值.(重点) 2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值.(难点) 3.了解周期函数、周期、最小正周期的含义.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 函数的周期性
阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题. 1.函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
f(x)的最小正周期.
2.两种特殊的周期函数
(1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. (2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
函数y＝2cos x＋5的最小正周期是________.
【解析】 函数y＝2cos x＋5的最小正周期为T＝2π. 【答案】 2π
教材整理2 正、余弦函数的奇偶性
阅读教材P37“思考”以下至P37第14行以上内容，完成下列问题.
1.对于y＝sin x，x∈R恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称.
2.对于y＝cos x，x∈R恒有cos(－x)＝cos x，所以余弦函数y＝cos x是偶函数，余
鼎尚出品
精心制作仅供参考 鼎尚出品
弦曲线关于y轴对称.
3π??判断函数f(x)＝sin?2x＋?的奇偶性. 2??3π??【解】 因为f(x)＝sin?2x＋?＝－cos 2x.
2??
且f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数. 教材整理3 正、余弦函数的图象和性质
阅读教材P37～P38“例3”以上内容，完成下列问题.
函数名称 图象与性质 性质分类 相 同 处 定义域 值域 周期性 图象 R [－1,1] 最小正周期为2π R [－1,1] 最小正周期为2π y＝sin x y＝cos x 奇偶性 奇函数 ππ??在?2kπ－，2kπ＋?(k∈Z)上22??单调性 不 同 处 对称轴 对称中心 是增函数；在偶函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上减函数 ?2kπ＋π，2kπ＋3π?(k∈Z)上?22???是减函数 π2x＝kπ＋(k∈Z) (kπ，0)(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) ?kπ＋π，0?(k∈Z) ??2??x＝2kπ时，ymax＝1；x＝2kπ＋π时，ymin＝－1
x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； 最值 π2π2x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
鼎尚出品
精心制作仅供参考 鼎尚出品
(1)若sin?
?2π＋π?＝sinπ，则2π是函数y＝sin x的一个周期.( )
?6?63?3
(2)函数y＝sin x在第一象限内是增函数.( )
(3)余弦函数y＝cos x是偶函数，图象关于y轴对称，对称轴有无数多条.( ) 1?π?(4)函数y＝－sin x，x∈?0，?的最大值为0.( )
2?2?【解析】 (1)×.因为对任意x，sin?
?2π＋x?与sin x并不一定相等.
?
?3?
(2)×.y＝sin x的单调性针对的是某一区间，不能用象限角表示. (3)√.由余弦函数图象可知正确.
1?π?(4)√.函数y＝－sin x在x∈?0，?上为减函数，故当x＝0时，取最大值0. 2?2?【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
[小组合作型]
三角函数的周期问题及简单应用
(1)下列函数是以π为最小正周期的函数是( ) A.y＝sin x C.y＝cos 2x＋2
B.y＝sin x＋2 D.y＝cos 3x－1
π??(2)函数y＝sin?2x＋?的最小正周期为________.
4??(3)求函数y＝|sin x|的最小正周期.
2π
【精彩点拨】 (1)(2)利用周期定义或公式T＝求解.(3)利用图象求解.
ω【自主解答】 (1)y＝sin x及y＝sin x＋2的最小正周期为2π，y＝cos 2x＋2的最2π
小正周期为π，y＝cos 3x－1的最小正周期为，所以选C.
3
π?π???(2)法一：y＝sin?2x＋?＝sin?2x＋＋2π? 4?4???＝sin?2
?
?
x＋π＋?，所以最小正周期为π.
4?π
?
π?2π2π?法二：因为函数y＝sin?2x＋?中ω＝2，所以其最小正周期T＝＝＝π. 4?|ω|2?
鼎尚出品
精心制作仅供参考 鼎尚出品
【答案】 (1)C (2)π
(3)作函数y＝|sin x|的简图如下：
由图象可知y＝|sin x|的最小正周期为π.
求三角函数周期的方法：
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解.
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，
ω≠0)的函数，T＝
2π
. |ω|
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期.
[再练一题]
1.求下列三角函数的周期： (1)y＝cos 2x，x∈R；
?1π?(2)y＝sin?x－?，x∈R. 【导学号：00680018】
4??3
【解】 (1)因为cos 2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π.
(2)因为sin?
?1x＋6π－π?
?4??3
π??1?1π??1π?＝sin?x＋2π－?＝sin?x－?，由周期函数的定义知，y＝sin?x－?的周期为
4?4?4??3?3?36π.
三角函数奇偶性的判断
(1)函数y＝sin?A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
(2)已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于( ) A.0 C.－1
B.1 D.±1
?2 015π－2 016x?是( )
?
?2?
【精彩点拨】 (1)可先化简解析式再判断奇偶性.(2)可由f(－x)＝－f(x)恒成立来求
鼎尚出品