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一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析. 【解析】
试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则
，
（其中
），当
时，
，解这个方程，得
的两段；
（2）两正方形面积之和为48时，∵
，，∴应将之剪成12cm和28cm
，，
， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积
之和为48cm2，李明的说法正确．
考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．
2．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣
+t2＝
）×（+
）﹣（1﹣﹣
）（+
），令+
＝t，
在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（1﹣﹣
）×（+
）﹣（1﹣﹣
）×
（+）
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）仿照材料内容，令+
＝t代入原式计算．
；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．
（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解． 【详解】 （1）令+
原式＝（1﹣t）（t+
＝t，则： ）﹣（1﹣t﹣
）t＝t+﹣t2﹣
﹣t+t2+
＝
（2）令a2﹣5a＝t，则：
原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴t1＝0，t2＝﹣4 当x2+4x＝0时， x（x+4）＝0 解得：x1＝0，x2＝﹣4 当x2+4x＝﹣4时， x2+4x+4＝0 （x+2）2＝0 解得：x3＝x4＝﹣2 【点睛】
本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．
3．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．
（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最
多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）
（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨上的购买价格比原有价格下降了
5m%，购买数量和原计划一样：“美团”网29m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在2015m%，求出m的值． 2两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了【答案】（1）120；（2）20． 【解析】
试题分析：（1）本题介绍两种解法：
解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，解出即可；
解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；
（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+总额：a[120（1﹣25%）﹣的预算总额增加了
5m%），在“美团”网上的购买实际消费29m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划2015m%”列方程解出即可． 2试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，x≤120； 解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）． 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；
（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：
59m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣m]（1+15m%）=120×0.8a
2025159m）（1+15m%）=144a（1﹣25%）×2（1+ m%），即72a（1+ m%）+a（72﹣
220215（1+ m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），
2m2=20．
答：m的值是20．
120×0.8a（1﹣25%）（1+
点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．
4．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期