2019中考数学专题复习之最值问题典例分析

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2019中考数学专题复习之最值问题典例分析 2019中考数学专题复习之最值问题典例分析

解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；

直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；

三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．

几何最值问题中的基本模型举例 B图形 BAl APlAPMNl 轴原理两点之间线段最短对A，B为定点，l为定称最特征直线，P为直线l上的一个动点，求值 AP+BP的最小值 B 两点之间线段最短三角形三边关系 A，B为定点，l为定直A，B为定点，l为定线，MN为直线l上的一直线，P为直线l上的条动线段，求AM+BN的一个动点，求|AP-BP|最小值的最大值先平移AM或BN使M，作其中一个定点关N重合，然后作其中一作其中一个定点关于转化于定直线l的对称点个定点关于定直线l的定直线l的对称点对称点 AM折叠BC N最值原理两点之间线段最短在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻特征折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值二、典型题型 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN的周长的最小值为．

图形 B'

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分析：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．

解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD

∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD． ∴△COD是等腰直角三角形．则CD=2OC=2×32=6．

2．如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．

分析：因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短．

把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时PA+NB最短．

设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），

作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），设直线AB″的解析式为y=kx+b， ?1?2k?b则?，解得k=4，b=﹣7．

?3?k?b?77∴y=4x﹣7．当y=0时，x=，即P（，0），a=

447． 47故答案填：．

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解：作点B于直线l的对称点B′，连AB′并延长交直线l于P． D∴B′N=BN=1，

过D点作B′D⊥AM， M利用勾股定理求出AB′=5 ∴|PA﹣PB|的最大值=5．

4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．

B′NBP

分析：本题关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2．解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，当点Q与D重合时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．则点A′在BC边上移动的最大距离为3﹣1=2．故答案为：2

5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于．

分析：如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．解：如图，

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∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°， ∴四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，

∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得： BD2=82+62=80， ∴BD=45， ∴PD=45?8．

6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．

分析：取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．

解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE， ∵∠MON=90°，AB=2

1∴OE=AE=AB=1，

2∵BC=1，四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=1， ∴DE=2，

根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE， ∴当OD过点E是最大，最大值为2+1．故答案为：2+1．

7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．

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分析：设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=

2x，CD′=22（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解． 2解：设AC=x，BC=4﹣x，

∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，

22∴CD=x，CD′=（4﹣x），

22∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°， ∴∠DCE=90°，

11∴DE2=CD2+CE2=x2+（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，

22∵根据二次函数的最值，

∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．

8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为．

分析：根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．解：如图，∵AB=2，∠A=120°，

3∴点P′到CD的距离为2×=3，

2∴PK+QK的最小值为3．故答案为：3．

9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C 重合），分别过B、C、D 作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是．

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