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21.(12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若点F在线段AB上,点R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程. 解:由题设知F . 设l1:y=a,l2:y=b,则
ab≠0,且A ,B
,P - ,Q - ,R -
. 记过A,B两点的直线为l,
则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.
(1)证明:由于点F在线段AB上,故1+ab=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2, 则k1=
-
- -
=-b=k2.
-
所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),
则S△ABF= |b-a||FD|= |b-a| - ,S△PQF= . 由题设可得|b-a| -
-
,
-
所以x1=0(舍去)或x1=1.
设满足条件的AB的中点为E(x,y). (分类讨论)
当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得
(x≠1). - 而=y,所以y2=x-1(x≠1).
当AB与x轴垂直时,E与D重合. 所以所求轨迹方程为y2=x-1. 22.(12分)已知点A是椭圆E:
上,MA⊥NA.
(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,证明
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为. 又点A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.
将x=y-2代入 =1得7y2-12y=0.
解得y=0或y= ,所以y1= .
因此△AMN的面积S△AMN=2× -
=1的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E
.
(2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入 =1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0. 由x1·(-2)=
得x1= -
, 故|AM|=|x1+2| 由题设,直线
AN的方程为y=- (x+2),
.
同理可得|AN|=.
由2|AM|=|AN|得,
即4k3-6k2+3k-8=0.
设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点. f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,
所以f(t)在(0,+∞)单调递增. 又f( )=15 -26<0,f(2)=6>0,
因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k在( ,2)内. 所以