一类四阶不定微分算子的非实特征值

Non-Real Eigenvalues of a Class of Fourth Order

Indefinite Differential Operators

Xin Zhao, Yunlan Gao*, Xiaojuan Qin【摘 要】Abstract【期刊名称】应用数学进展【年(卷),期】2017(006)005【总页数】6

【关键词】Keywords

The present paper deals with non-real eigenvalues of regular fourth order indefinite differential operators. Bounds of non-real eigenvalues are obtained under mild integrable conditions of coefficients when weighted function’s sign changes one or any time.Indefinite Differential Operator, Fourth Order Differential Operator, Non-Real Eigenvalue不定微分算子，四阶微分算子，非实特征值

1. 引言

微分算子的谱理论作为微分算子理论的基本问题之一，已经成为量子力学等领域的重要数学工具。关于带权函数的Sturm-Liouville边值问题，带有自伴边界条件的右定问题已经有非常完善的谱理论，而不定问题的谱结构与右定问题有很大区别。例如，不定Sturm-Liouville边值问题的实特征值上下无界，更关键的是会出现非实特征值。自1918年Richardson提出了关于Richardson方程非实特征值的存在性[1]，之后很多学者开始关注和研究带有不定权的Sturm-Liouville问题非实特征值的相关问题[2][3][4]，文献[5]给出了在分离边界条件下正则不定Sturm-Liouville边值问题非实特征值存在的充分条件，并得到了权函数仅变号一次和权函数可变号任意次时非实特征值的界。文献[6]给出了在绝对连续函数限制下正则不定Sturm-Liouville边值问题非实特征值的界。而对于四阶不定微分算子谱问题的研究则相对较少，文献[7]给出了四阶不定微分算子非实特征值的界。本文考虑四阶不定微分方程，其中q，w 为实值函数，满足条件

且权函数w(x)在[0,1]上变号，其中λ是谱参数。令为具有内积和范数的Hilbert空间。令

则(1.1)，(1.2)相应的右定问题是(1.4)，(1.2)。