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导方法点到直线的距离公式的七种推导方法 已知点Pgy。）直线l
：
Ax ? By 60（A=0,B=0）求点p到直线|的
距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）
定义法
证：根据定义，点P到直线I的距离是点P到直线I的垂线段 的长，如图1，
设点P到直线I的垂线为|'，垂足为Q,
由「―I可知
y
.I'
的方程:
-
yo
「
（
X
-
Xo
）与I联立方程组
2
2
Q( B Xo _ AByo _ AC A y° _ ABx° _ BC、2 解得交点222
A B A B
2
2
2
_ /
2 2
B x
o 2
2o - AC - ABA B y
、2 . /
(
yA
o
- ABXo - BC
-o
2
z
z z
y)2
A Xo - ABy22o - AC 2
A B
2
2
)
_ A (Axo Byo C) . B (Ax。By。C) _ (Ax。By。C) — 2 2 2 —
(A B ) 2 2 2
(A B )
| Axo +Byo +C I
'
2
/By。- ABx° - BC 2 22
A B
2
)
函数法
P到直 证：点P到直线I上任意一点的距离的最小值就是点
线I的距离。在I上取任意点Q（x，y）用两点的距离公式有，为了
利用条件Ax By ^上式变形一下，配凑系数处理得：
o
（A B）[（x—x。） （y — y。）]
= A（x—x。） B（y — y。） A（y—y。） B（x — x。） = [A（x-x。）B（y-y。）] [A（y-y。）B（x-x。）]
_[ A（x -x。）B（y - y。）] = （Ax。Byo C）（： Ax By C = O） （x-x。） （y-yo）」
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2222
Axo
*
2
2
C|
JA +B
当且仅当 A（y — yo） = B （x — x°） 时取等号所以最小值就是
=
| Ax。Byo C | d
A B
2
2
三、不 等式法
证: 点P到直线I上任意一点
直线I的距离
Qx, y)的距离的最小值就是点 P
O 由柯西不等式：
（y-y。）] — [A（x -xo） B（ y - y。）] =
2
2
（A B）[（x-x。）
2
（Ax。By。C） V Ax By C =0,.
222
当且仅当
Ayy
(
-
o
) =B (x-xo)时取等号所以最小值就是