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中国科技大学附属中学数学几何模型压轴题单元练习（Word版 含
答案）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
（1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；
（2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系 时，仍有EF=BE+DF；
（3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）【解析】 【分析】
5 3（1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；
（2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即
?ADG??ADF?180?，即?B??D?180?；
（3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再RtBDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长． 【详解】 （1）解：如图，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中
?AF?AF???EAF??GAF ?AE?AG?∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； （2）解：∠B+∠D=180°， 理由是：
如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合， 则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F、D、G在一条直线上， 和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中
?AF?AF???EAF??GAF ?AE?AG?∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180°；
（3）解：∵△ABC中，AB=AC=22，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC=AB2?AC2=4，
如图，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF． 则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE， ∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°， 在△FAD和△EAD中
?AD?AD???FAD??EAD ?AF?AE?∴△FAD≌△EAD， ∴DF=DE， 设DE=x，则DF=x， ∵BD=1，
∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x， ∵∠FBA=45°，∠ABC=45°， ∴∠FBD=90°，
由勾股定理得：DF2?BF2?BD2，
x2?(3?x)2?1，
解得：x=即DE=
5， 35． 3【点睛】
本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．
2．如图1，在Rt△ABC中，?A?90?，AB?AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD?AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是_________，位置关系是_________；
（2）探究证明：把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，
CE，判断PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD?4，AB?10，请直接写出
PMN面积的最大值．
【答案】（1）PM?PN，PM?PN；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）【解析】 【分析】
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（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN与PM等于DE或CE的一半，又△ABC为等腰直角三角形，AD=AE，所以得PN=PM，且互相垂直；
（2）由旋转可推出?BAD≌?CAE，再利用PM与PN皆为中位线，得到PM=PN，再利用角度间关系推导出垂直即可；
（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM，且PM⊥PN，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】
（1）PM?PN，PM?PN；
已知点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，根据三角形的中位线定理可得
PM?11EC，PN?BD，PM//EC，PN//BD 22根据平行线性质可得?DPM??DCE，?NPD??ADC 在Rt?ABC中，?A?90?，AB?AC，AD?AE 可得BD?EC，?DCE??ADC?90? 即得PM?PN，PM?PN 故答案为：PM?PN；PM?PN． （2）等腰直角三角形，理由如下： 由旋转可得?BAD??CAE， 又AB?AC，AD?AE ∴?BAD≌?CAE
∴BD?CE，?ABD??ACE， ∵点M，P分别为DE，DC的中点 ∴PM是?DCE的中位线 ∴PM?1CE，且PM//CE， 21BD，且PN//BD 2同理可证PN?∴PM?PN，?MPD??ECD，?PNC??DBC， ∴?MPD??ECD??ACD??ACE??ACD??ABD，
?DPN??PNC??PCN??DBC??PCN，
∴
?MPN??MPD??DPN??ACD??ABD??DBC??PCN??ABC??ACB?90?，
即?PMN为等腰直角三角形．
（3）把?ADE绕点A旋转的如图的位置，
此时PN?11(AD?AB)?7，PM?(AE?AC)?7 22149?7?7?． 22且PN、PM的值最长，由（2）可知PM?PN，PM?PN 所以?PMN面积最大值为【点睛】
本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．
3．综合与探究：
如图1，RtAOB的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA?4，OB?2，将线段AB绕点B顺时针旋转90?得到线段BC，过点C作
CD?x轴于点D，抛物线y?ax2?3x?c经过点C，与y轴交于点E(0,2)，直线AC与x轴交于点H．