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初高中衔接课——函数
第三讲 函数解析式的求法
【待定系数法】
如果已知函数类型，可以设出函数的解析式，再代入条件解方程（组），求出参数，即可确定函数的解析式。
【例题】已知函数f?x?是一次函数，2f(2)?3f(1)?5,2f(0)?f(?1)?1，则f?x??（ ）
A. 3x?2 B.3x?2 C.2x?3 D.2x?3
【例题】已知f?x?是一次函数，且满足3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17，则f?x?的解析式为__________.
【练习】已知f?x?是一次函数，且满足3f(x?1)?f(x)?2x?9，则f?x?的解析式为__________.
【练习】已知一次函数f?x?满足f(f(x))?4x?3，则f?x?的解析式为__________. 【例题】已知f?x?是二次函数，且f(x?1)?f(x?1)?2x?4x，则f?x?的解析式为
2__________.
，?4?，【练习】已知二次函数f?x?的图象过点?1且不等式f?x??0的解集是?0,5?，则f?x?的解析式为__________.
【练习】已知函数F(x)?f?x??g(x)，其中f?x?是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F???16，F(1)?8，则F(x)的解析式为__________.
?1??3?【练习】已知f?x?是二次函数，且满足f(0)?0，对于任意的x?R都有f(x)?x，且
?1??1?f???x??f???x?，求f?x??__________. ?2??2?
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【换元法】
已知f?g(x)?的解析式，要求f?x?的解析式时，也可令t?g(x)，再求出f?t?的解析式，然后用x代替f?t?解析式中所有的t即可。
【例题】（1）已知f?x?1??3?x，求函数f?x?的解析式__________.
2（2）已知f?1???1?x，求函数f?x?. ??2x?1?x
【练习】已知f?x?1??x?4x?1，求函数f?x?的解析式__________.
2【练习】已知函数f?2x?1??3x?2，且f(a)?2，则a的值等于（ ） A.8 B.1 C.5 D.?1
【练习】若f?2x??x?x?1，则f?x?的解析式为__________.
2【练习】已知f?1???2???2x，求函数f?x?的解析式__________. x?【练习】已知f?x?1?x?2x，求函数f?x?的解析式__________.
?【整体代入法（配凑法）】
已知f?g?x??得到解析式，要求f?x?的解析式时，可从f?g?x??的解析式中配凑出g?x?，即用g?x?来表示，再将解析式两边的g?x?用x代替即可。 【例题】
（1）已知f?x???1?12??x?2，求f?x?. x?x- 2 -
（2）已知f?x???1?12?x?，求f?x?. ?2x?x
【练习】已知f
【函数方程法】
已知f?x?与f?g?x??满足的关系式，要求f?x?时，可以用g?x?代替两边所有的x，得到关于f?x?与f?g?x??的方程组，消去f?g?x??解出f?x?即可。常见的含有f?x?与f??x?，
?x?1?x?2x，求f?x?的表达式.
?1?1?f?x?与f??时，将原式中的x用?x代替（或）代替，从而得到另一个同时含f?x?与
x?x??1?f??x?，f?x?与f??的关系式，将这两个关系式联立，列方程组解出f?x?。
?x??1??x?【例题】（1）已知2f(x)?f???3x，求f?x?.
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（2）已知2f(x)?f??x??x?1，求f?x?.
（3）已知2f(x)?f?1?x??x?1，求f?x?.
【练习】已知f(x)?2f??x??x?1，求函数f?x?的解析式__________.
【练习】已知3f(x)?2f?x5?5??4x，求f?x?的解析式__________.
?1??x?2【练习】已知函数f?x?满足3f(x)?f???x，求f?x??__________.
【刷题练习】
【练习】下列函数中，不满足f?2x??2f?x?的是（ ） A.f?x??xB.f?x??x?x
C.f?x??x?1 D.f?x???x
【练习】已知f?x?是一次函数，满足3f?x?1??6x?4，求f?x?的解析式__________. 【练习】已知f?x?是一次函数，且f?f?x???4x?1，求f?x?的解析式__________.
2?1?x?13?，求f?x??__________. 【练习】已知f??1??2xx?x? - 4 -
【练习】二次函数f?x?满足f?x?2??f(2?x)，且f?x??0的两实根平方和为10，图象过点?0,3?，求f?x?的解析式.
2?1?x?1?x【练习】若f?，则f?x?的解析式可取为（ ） ??2?x?1?1?xA.
x2x2xxB.C.D. ??1?x2 1?x2 1?x2 1?x2?1???2f(x)?x，求f?x?的解析式__________. x??2【练习】已知f?【练习】已知f?x??x?1，g(x)?x?1则： x（1）f?x?1??___________. （2）g(2x?1)?__________.
（3）f?g(x)??___________. （4）g?f(x)??___________.
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