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由初始条件：t?0,yP??A，???，yP?Acos[原点O的振动方程： yO?Acos[(波动方程： y?Acos(如果：d??2t??]
?2t?2?d?)??]（O点振动落后于P点的振动）
?2t?2?(x?d)?)??]
11?，原点O的振动方程： yO?Acos?t 22单元三 波的干涉 驻波 多普勒效应
二、计算题
1. 两列相干平面简谐波沿X轴传播。波源S1与S2相距
d=30 m，S1为坐标原点。已知x1=9 m和x2=12 m处的
两点是相邻的两个因干涉而静止的点。求两波的波长和两波源的最小位相差。
? 选取X轴正方向向右，S1向右传播，S2向左传播。
两列波的波动方程：y1?A1cos[(?t?x2?)??10] ?计算题(1)d?x2?)??20] ?x1?9m和x2?12m的两点为干涉相消。 y2?A2cos[(?t?满足：?2??1?[(?t?d?x??2?)??20]?[(?t?)?(2k?1)?
x?2?)??10]?(2k?1)?
(?20??10)?2?((?20??10)?2?(两式相减：4?(x1?x2??d?x1d?x2???)?[2(k?1)?1]?
x1x2?x1)?2?，??6m。由(?20??10)?2?(??d?x1?)?(2k?1)?
1，2，3?，两波源的最小位相差：?20??10?? 得到(?20??10)?(2k?1)??4?, k?0，2. (1)一列波长为?的平面简谐波沿X轴正方向传播。已知在x??/2处振动方程y=Acos?t，试写出该平面简谐波的波动方程；
(2) 如果在上述波的波线上x?L(L??/2)处放一和波线相垂直的波密介质反射面，如图，假
(t?设反射波的振幅为A'，试证明反射波的方程为 y'?A'cos?2?x??4?L?)
? 已知x??/2处振动方程：y?A cos?t
原点处O点的振动方程：
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计算题(2)《大学物理习题集》（下册） 习题参考解答 共75页
2???)，yO?A cos(?t??) ?22?x??) 平面简谐波的波动方程：y?A cos(?t?yO?A cos(?t??反射面处入射波的振动方程： y?A cos(?t???) ?2?L)（波疏到波密介质，反射波发生?相变）反射面处反射波的振动方程： y'?A' cos(?t? ?2?L)（反射波沿X轴负方向传播，O点的反射波在原点O的振动方程：y'O?A' cos(?t?2??振动位相滞后）
反射波的方程： y'O?A' cos(?t?2?L2?x??4?L?)
3. 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的方程为：
y1?0.06 cos?(x?4t)y2?0.06 cos?(x?4t)
(1) 证明细绳上作驻波振动，并求波节和波腹的位置; (2) 波腹处的振幅有多大？在x=1.2m处振幅有多大？
? y1?0.06 cos(?x?4t?)，y1?0.06 cos(4?t??x)向右传播的行波。
y2?0.06 cos(?x?4t?)，y2?0.06 cos(4t???x)向左传播的行波。
两列波的频率相等、且沿相反方向传播，因此细绳作驻波振动: y?2Acos?xcos4?t
A合?2Acos?x
1，k?0,?1,?2,?3?
22波幅满足：?x?k?，x?k，k?0,?1,?2,?3?
波节满足：?x?(2k?1)，x?k?波幅处的振幅：A合?2Acos?x，将x?k和A?0.06m代入得到：A?0.12m 在x?1.2m处，振幅：A?2Acos?x，A?0.12cos1.2?，A?0.097m
?tx?)，在x=0发生反射，反射点为一固定端，求： T?(1) 反射波的表达式；(2) 驻波的表达式；(3)波腹、波节的位置。
tx? 入射波：y1?A cos2?(?)，反射点x=0为固定点，说明反射波存在半波损失。
T?tx反射波的波动方程：y2?A cos[2?(?)??]
T?
4. 设入射波的表达式为y1?A cos2?(（2?根据波的叠加原理， 驻波方程：y?2Acosx?＋?2??12x）cos(2?t??) T将?1?0和?2??代入得到：驻波方程：y?2Asin2??cos(2??t??2)
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驻波的振幅：A合?2Asin2?波幅的位置：2?波节的位置：2?x?
?(2k?1)，x?(2k?1)，k?0,1,2，3? ?24xx????k?，x?xk?，k?0,1,2，3?（因为波只在x>0的空间，k取正整数） 2cos?t，求：
5. 一驻波的表达式y?2Acos2??(1) x?
?2
处质点的振动表达式；(2)该质点的振动速度。
? 驻波方程：y?2Acos2?cos?t，在x?
?振动表达式：y?2Acos(?t??)
x?2
处的质点，振幅：2Acos2?x??2A
???2A?sin(?t??)，v?2A?sin?t 该质点的振动速度：v?y7. 一个观测者在铁路边，看到一列火车从远处开来，他测得远处传来的火车汽笛声的频率为650 Hz，当列车从身旁驶过而远离他时，他测得汽笛声频率降低为540 Hz，求火车行驶的速度。已知空气中的声速为330 m/s。
? 根据多普勒效应, 列车接近观察者时，测得汽笛的频率：?'?(着观察者运动）
列车离开观察者时，测得汽笛的频率：?''?(由上面两式得到：
u)?0（观察者静止，波源朝 u?vsu)?0（观察者静止，波源背离观察者运动） u?vs?'u?vs?'??''?u, vs?30.5m/s ，列车行驶的速度：vs??''u?vs?'??''单元四 (一) 振动和波习题课
二、计算题
1. 一轻弹簧的倔强系数为k，其下悬有一质量为m的盘子，现有一质量为M的物体从离盘h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动
(1) 此时振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2) 此时的振动的振幅多大?
(3) 取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振
动时为计时起点，求初相，并写出物体与盘子的振动的方程。
? 研究对象为倔强系数为k的弹簧、质量为m的盘子和质量
为M的物体。
选取系统的平衡点O原点，物体振动在任一位置时满足的
计算题(1) Page 7 7/14/2019
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? x方程：(m?M)g?k(x?x0?x'0)?(m?M)?式中：Mg?kx0,mg?kx'0
2???2x?0，式中：??所以，?xk
m?Mm k(1) 物体M未粘之前，托盘的振动周期：T0?2?物体M粘之后，托盘的振动周期：T?2?m?M，由此可见托盘振动的周期变长。 k (2) 物体M与托盘m碰撞，在X轴方向（垂直方向）动量近似守恒。
M2gh?(m?M)v0，v0?Mm?M2gh
MMg，v0?m?Mk(以物体粘上托盘开始运动为起始时刻：t?0，x0??2gh
M)22gh2v0Mg22)?m?M托盘和物体振动的振幅：A?x0?2?(
k?km?MA?Mg2kh1? k(m?M)g (3) 振动的初位相：tg???2khv0， ????arctg（位移为负，速度为正，?x0?(m?M)g为第三象限），物体和托盘的振动方程：
x?
Mg2khk2kh1?cos(t???arctg) k(m?M)gm?M(m?M)g2. 如图所示，两根相同的弹簧与质点m联接，放在光滑水平面上。弹簧另一端各固定在墙上，两端墙之间距离等于弹簧原长二倍，令m沿水平面振动，当m运动到二墙中点时，将一质量为M的质点轻轻地粘在m上(设粘上m前，M的速度为O)。求M与m粘上前后，振动系统的圆频率。
??x? m质点振动的微分方程：?m质点振动的圆频率：??2kx?0 m2k m计算题(2) Page 8 7/14/2019