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数计系《高等数学》课程教案
课程代码：____ ___ 061041210______________ 总学时／周学时： 51/3 开课时间： 2015年9 月16 日第 3周至第18周 授课年级、专业、班级：____制药本152班 使用教材：__ 高等数学_同济大学第7版____ 教研室： _ _数学与应用数学教研室_________ 授课教师：____________ ___________________
一、课程教学计划表 章 次 内 容 讲 授 实 践 一 函数与极限 13 二 导数与微分 8 三 微分中值定理与导数6 应用 四 不定积分 8 五 定积分 6 六 定积分的应用 6 七 复习 4 八 九 总学时 51 二、教案正文
第一章 函数与极限
（一）教学目的：
1．理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4．掌握基本初等函数的性质及其图形。
5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6．掌握极限的性质及四则运算法则。
7．了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质
（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
（二）重点、难点
1．重点 函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。
2．难点 函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。 （三）教学方法、手段：
教师讲授，提问式教学，多媒体教学
第一节 映射与函数
一、映射 1. 映射概念
定义4.设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作
f : X?Y.
其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y?f(x),元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合X称为映射f的定义域, 记作Df, 即
Df?X。X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,
记为 Rf , 或f(X), 即Rf ?f(X)?{f(x)|x?X}. 注意:
1)映射的三要素: 定义域 , 对应规则 , 值域 .
2)对每个x?X,元素 x 的像 y 是唯一的; 但对每个y?R元素y 的原像不一定唯一 . 例1设 f : R?R, 对每个x?R, f(x)?x2.f 是一个映射, f 的定义域Df ?R, 值域Rf ?{y|y?0}.
例2设X?{(x, y)|x2?y2?1},Y?{(x, 0)||x|?1},f : X?Y,对每个(x, y)?X,
有唯一确定的(x, 0)?Y与之对应.f 是一个映射, f 的定义域Df?X, 值域Rf ?Y.
在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[?1, 1]上. 2、满射、单射和双射
设f是从集合X到集合Y的映射.
（1）若Rf ?Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射;
（2）若对X中任意两个不同元素x1?x2, 它们的像f(x1)?f(x2), 则称f为X到Y的单射;
（3）若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 从实数集（或其子集）X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数. 3. 逆映射与复合映射
逆映射定义：设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个y?Rf , 有唯一的x?X, 适合f(x)?y, 于是, 我们可定义一个从Rf到X的新映射g, 即
g : Rf ?X,
对每个y?Rf , 规定g(y)?x, 这x满足f(x)?y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f ?1, 其定义域为Rf , 值域为X . 按定义，只有单射才存在逆映射。
例如, 映射y?x2,x?(??,0],其逆映射为y??x,x?[0,??)
复合映射定义：设有两个映射g : X?Y1, f : Y2?Z, 其中Y1?Y2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个x?X映射成f[g(x)]?Z. 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g,
即 f o g: X?Z,
(f o g)(x)?f[g(x)], x?X .
说明：（1）映射g和f 构成复合映射的条件是： g的值域R必须包含在 f 的定义域内，即R ? D f .
（2）映射的复合是有顺序的,f o g有意义并不表示g o f 也有意义. 即使它们都有意义,f o g与g o f也未必相同.
例3 设有映射 g : R?[?1, 1], 对每个x?R, g(x)?sin x, 映射o f:[?1,1]?[0,1]，对每个u?[?1,1],f(u)?1?u2．则映射g和f构成复映射f g: R?[0, 1],对每个x?R,有
(fog)(x)?f[g(x)]?f(sinx)?1?sin2x?cosx．
二、函数
1. 函数的定义：设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于给定的每个数x?D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y?f(x)，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量．y的取值范围叫函数的值域． 2. 定义域的求法原则：
（1）分母不为零 （2）x，x?0 （3）lnx,x?0
（4）arcsinx,arccosx,?1?x?1
（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集 3. 分段函数
用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数
?x?1，x?1如f?x???
x?1，x?1?称为分段点
4. 复合函数
若y?f?u?u???x?，当??x?的值域落在f?u?的定义域内时 称y?f???x??是由中间变量u复合成的复合函数． 5. 反函数
设函数的定义域为Df，值域为Vf．对于任意的y?Vf，在Df上至少可以确定一个x与y对应，且满足y?f?x?．如果把y看作自变量，x看作因变量，就