loading专题12-3导函数解答题突破第三季
1．已知函数若
，
，试证明：当，
时，
．
；
若对任意均有两个极值点，
试求b应满足的条件； 当
时，证明：
，
． .见解析
【答案】（1）见解析（2）
，
设
，
故故当
在
，则
，
递减，在
．
，
，递增，
，
至多有2个零点； 时，
，
，
，且，
又由
可知
，
，
是R上的连续函数， 在
，
上各有1个零点，， 的2个不同的极值点，
此时，，为函数故当故故故函数综上，当由
时，符合题意； 时，取
，则
， ，
在递减，在递增，
递增，没有极值点，不合题意， 时，对任意
，
均有2个极值点；
知，，为
，
的两个实数根， ，
，只需证明得
，
， 在
递减，
，
下面先证
设，，
则故
在
递减， ，
又
在
，递减，
，
，
时，
， ， ，
， ，
，
，
问题转化为只需证明即证明设函数则
，
设
在
，则递增， ，即
在
递增，时，
， ， ．
，
，
， ，
当则
2．已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
（2）由
，
可得：①当②当
时，时，
，时，
在
，故
为减函数；
在
为减函数；时，，故在
为增函数. 3．已知（1）讨论
，函数的单调性；
.
（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
.
【答案】（1）详见解析；（2）【解析】 （1）①当所以②当
当当调递减，在
当递减，在（2）由（1）知当要使
，即的定义域为时，在时，，即
，即
时，因为
时，因为，令上单调递增，
，
.
，得
；令
，得
，
上单调递减.
， ，所以在
，所以
在
上单调递增；
上单调递增；在
上单
上单调递增；
时，因为上单调递增.
时，
在
上单调递增，在，所以
上单调递减，
.（因为当
时，
，当
时，
，所以
在
上单调递增；在
上单调
有两个零点，只要）
下面我们讨论当
当当所以因为
当所以
在时，即在，即
，即
时的情形： 时，
在
上单调递增，不可能有两个零点；
，
上单调递减，在
，，
上单调递减，在
，
时，
有两个零点.
时，因为上单调递增，在，
，所以时，因为
上单调递增； 没有两个零点；
上单调递增，在，
上单调递增，
没有两个零点.
综上所述：当
4．设函数（Ⅰ）当（Ⅱ）当为，.
①求的取值范围； ②求证：
. 时，求函数时，若函数
.
的单调区间； 与函数
的图像总有两个交点，设两个交点的横坐标分别
【答案】（Ⅰ）当（Ⅱ）①【解析】 （Ⅰ）由已知得，由令所以，当
，得，
，令
时，单调递增区间是，②见解析
；单调递减区间是.
，
得：
；单调递减区间是
.
，
[来源学科网]时，单调递增区间是
[来源学科网ZXXK]
解法二：由而
得，
；由
在
，
得，
易知，
为极大值点.
时取得极小值，