loading专题: 阅读理解问题
例1．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数
⌒⌒⌒
为半径作90°圆弧P1P2 ，P2P3 ，P3P4 ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2 ，P2P3 ，P3P4 ，…得到螺旋折线（如图），已知点P1 （0，1），P2 （－1，0），P3 （0，－1），则该折线上的点P9 的坐标为（ ） A．（－6，24） B．（－6，25） C．（－5，24） D．（－5，25）
同类题型1.1 定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3．函数y12
＝[x]的图象如图所示，则方程[x]＝ x 的解为（ ）
2A．0或2 B．0或2 C．1或－ 2 D．2 或－ 2
nmn﹣1m﹣1
同类题型1.2 对于函数y＝x＋x，我们定义y'＝nx＋mx（m、n为常数）．
423
例如y＝x＋x，则y'＝4x＋2x．
1322
已知：y＝x＋（m﹣1）x＋mx．
3
（1）若方程y′＝0有两个相等实数根，则m的值为 ；
1
（2）若方程y′＝m﹣有两个正数根，则m的取值范围为 ．
4
例2．将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷
?ax＋by＝3
出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组? 有正数解的概率为___．
?x＋2y＝2
同类题型2.1 六个面上分别标有1，1，2，3，4，5六个数字的均匀立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．则
2
得到的坐标落在抛物线y＝2x －x上的概率是（ ） 2111A． B． C． D． 3639
同类题型2.2 把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两
2
个正面朝上的编号分别为m、n，则二次函数y＝x ＋mx＋n的图象与x轴没有公共点的概率是________．
同类题型2.3 如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止．点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所
经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝（ ） 4－ππ1π－1A． B． C． D．
4444
同类题型2.4 从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一次函数y＝2x?x＋2≤a1
＋a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为 ，且使关于x的不等式组? 有解的概率为
4?1－x≤2a_________．
22
例3．若f（n）为n＋1（n是任意正整数）的各位数字之和，如14 ＋1＝197，1＋9＋7＝17，则f（14）＝17，记f1 （n）＝f（n），f2＝f（f1（n））…fk＋1＝fk （f（n）），k是任意正整数则f2016 （8）＝（ ） A．3 B．5 C．8 D．11
同类题型3.1 将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中
1
任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式 (|a－b|＋a＋b)中进行计算，求出其结果，50组数代入后
2
可求得50个值，则这50个值的和的最大值是____________． 同类题型3.2 规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）
①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝6；
②当x＝－2.1时，[x]＋（x）＋[x）＝－7；
③方程4[x]＋3（x）＋[x）＝11的解为1＜x＜1.5；
④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点．
同类题型3.3 设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，＜x＞表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，＜3.4≥3．则方程3[x]＋2{x}＋＜x≥22（ ） A．没有解 B．恰好有1个解 C．有2个或3个解 D．有无数个解
同类题型3.4对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此，
22
min{－2，－3}＝______；若min{（x－1），x }＝1，则x＝____________．
1
例4．已知点A在函数y1＝－（x＞0）的图象上，点B在直线y2 ＝kx＋1＋k（k为常数，且k≥0）上．若
xA，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1 ，y2 图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的
“友好点”对数的情况为（ ） A．有1对或2对 B．只有1对 C．只有2对 D．有2对或3对 同类题型4.1 在平面直角坐标内A，B两点满足： ①点A，B都在函数y＝f（x）的图象上；
②点A，B关于原点对称，则称A，B为函数y＝f（x）的一个“黄金点对”．
??|x＋4|，x≤0
则函数f（x）＝ ?1的“黄金点对”的个数为（ ）
－ ，x＞0?
?
xA．0个 B．1个 C．2个 D．3个
同类题型4.2 定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（－1，1），Q（2，3），则P，Q的“实际距离”为5，即PS＋SQ＝5或PT＋TQ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为A（3，1），B（5，－3），C（－1，－5），若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为____________．
同类题型4.3 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为__________．
专题09 阅读理解问题
例1．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数
⌒⌒⌒
为半径作90°圆弧P1P2 ，P2P3 ，P3P4 ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2 ，P2P3 ，P3P4 ，…得到螺旋折线（如图），已知点P1 （0，1），P2 （－1，0），P3 （0，－1），则该折线上的点P9 的坐标为（ ） A．（－6，24） B．（－6，25） C．（－5，24） D．（－5，25）
解：由题意，P5 在P2 的正上方，推出P9 在P6 的正上方，且到P6 的距离＝21＋5＝26， 所以P9 的坐标为（－6，25）， 选B．
同类题型1.1 定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3．函数y12
＝[x]的图象如图所示，则方程[x]＝ x 的解为（ ）
2A．0或2
B．0或2
C．1或－ 2
D．2 或－ 2
12
解：当1≤x＜2时，x ＝1，解得x1＝2 ，x2＝－2 ；
2
12
当x＝0，x ＝0，x＝0；
2
12
当－1≤x＜0时，x ＝－1，方程没有实数解；
2
12
当－2≤x＜－1时，x ＝－2，方程没有实数解；
212
所以方程[x]＝x 的解为0或2 ．
2
选A．
同类题型1.2 对于函数y＝x＋x，我们定义y'＝nx例如y＝x＋x，则y'＝4x＋2x． 1322
已知：y＝x＋（m﹣1）x＋mx．
3
（1）若方程y′＝0有两个相等实数根，则m的值为 ；
1
（2）若方程y′＝m﹣有两个正数根，则m的取值范围为 ．
4解：根据题意得y′＝x＋2（m﹣1）x＋m，
（1）∵方程x﹣2（m﹣1）x＋m＝0有两个相等实数根， ∴△＝[﹣2（m﹣1）]﹣4m＝0， 1
解得：m＝；
2
1122
（2）y′＝m﹣，即x＋2（m﹣1）x＋m＝m﹣，
44122
化简得：x＋2（m﹣1）x＋m﹣m＋＝0，
4∵方程有两个正数根，
2(m－1)＜0??m－m＋1＞0
4∴?，
1
?[－2(m－1)]－4(m－m＋)≥0?4
2
2
22
2
2
2
2
2
4
2
3
nmn﹣1
＋mxm﹣1
（m、n为常数）．
31解得：m≤且m≠．
42
例2．将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷
?ax＋by＝3
出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组? 有正数解的概率为___．
?x＋2y＝2
解：①当2a－b＝0时，方程组无解；
②当2a－b≠0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．
6－2b2a－3
易知a，b都为大于0的整数，则两式联合求解可得x＝ ，y＝ ，
2a－b2a－b6－2b2a－3
∵使x、y都大于0则有x＝ ＞0，y＝ ＞0，
2a－b2a－b∴解得a＜1.5，b＞3或者a＞1.5，b＜3， ∵a，b都为1到6的整数，
∴可知当a为1时b只能是4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b为1或2， 这两种情况的总出现可能有3＋10＝13种； （1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）
13
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求概率为＝ ．
36
同类题型2.1 六个面上分别标有1，1，2，3，4，5六个数字的均匀立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．则
2
得到的坐标落在抛物线y＝2x －x上的概率是（ ） 2111A． B． C． D． 3639
解：掷一次共出现6种情况，根据图形可知1，2，3所对应的数分别是1，5，4，
21
在抛物线上的点为：（1，1），只有两种情况，因此概率为：＝ ．
63
选C．
同类题型2.2 把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两
2
个正面朝上的编号分别为m、n，则二次函数y＝x ＋mx＋n的图象与x轴没有公共点的概率是________．
2
解：∵二次函数y＝x ＋mx＋n的图象与x轴没有公共点，
2
∴△＜0，即m －4n＜0，
2
∴m ＜4n， 列表如下： m、 n 1 2 3 4 5 6 1 1，1 1，2 1，3 1，4 1，5 1，6 2 2，1 2，2 2，3 2，4 2，5 2，6 3 3，1 3，2 3，3 3，4 3，5 3，6 4 4，1 4，2 4，3 4，4 4，5 4，6 5 5，1 5，2 5，3 5，4 5，5 5，6 6 6，1 6，2 6，3 6，4 6，5 6，6 2共有36种等可能的结果，其中满足m ＜4n占17种，
172
所以二次函数y＝x ＋mx＋n的图象与x轴没有公共点的概率＝ ．
36
同类题型2.3 如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止．点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝（ ） 4－ππ1π－1A． B． C． D．
4444
解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为1，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．
2
90π×1
而正方形ABCD的面积为2×2＝4，4个扇形的面积为4× ＝π，
360
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为4－π，
4－π∴把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝ ．
4
选A．
同类题型2.4 从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一次函数y＝2x?x＋2≤a1
＋a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为 ，且使关于x的不等式组? 有解的概率为
4?1－x≤2a_________．
1
解：当a＝－1时，y＝2x＋a可化为y＝2x－1，与x轴交点为（ ，0），与y轴交点为（0，－1），
2
111
三角形面积为××1＝ ；
224
1
当a＝1时，y＝2x＋a可化为y＝2x＋1，与x轴交点为（－ ，0），与y轴交点为（0，1），
2
111
三角形的面积为××1＝ ；
224
当a＝2时，y＝2x＋2可化为y＝2x＋2，与x轴交点为（－1，0），与y轴交点为（0，2），
1
三角形的面积为 ×2×1＝1（舍去）；
2
?x＋2≤a?x＋2≤－1?x≤－3
当a＝－1时，不等式组? 可化为? ，不等式组的解集为? ，无解；
?1－x≤2a?1－x≤－2?x≥3?x＋2≤a?x＋2≤1?x≤－1?x≤－1
当a＝1时，不等式组? 可化为? ，解得? ，解集为? ，解得x＝－1．
?1－x≤2a?1－x≤2?－x≤1?x≥－1
1
使关于x的一次函数y＝2x＋a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为 ，且使关于x的不等式组
4
?x＋2≤a1? 有解的概率为P＝ ．
3?1－x≤2a
22
例3．若f（n）为n＋1（n是任意正整数）的各位数字之和，如14 ＋1＝197，1＋9＋7＝17，则f（14）＝17，记f1 （n）＝f（n），f2＝f（f1（n））…fk＋1＝fk （f（n）），k是任意正整数则f2016 （8）＝（ ） A．3 B．5 C．8 D．11
2
解：∵8 ＋1＝65，∴f1 （8）＝f（8）＝6＋5＝11，
22
同理，由11 ＋1＝122得f2 （8）＝1＋2＋2＝5；由5 ＋1＝26，得f3 （8）＝2＋6＝8， 可得f4（8）＝6＋5＝11＝f1 （8），f5（8）＝f2 （8），…，
*
∴fk＋3（8）＝fk （8）对任意k∈N 成立 又∵2016＝3×672，
∴f2016（8）＝f2013（8）＝f2000（8）＝…＝f3 （8）＝8． 选C．
同类题型3.1 将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中
1
任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式 (|a－b|＋a＋b)中进行计算，求出其结果，50组数代入后
2
可求得50个值，则这50个值的和的最大值是____________．
解：①若a≥b，则代数式中绝对值符号可直接去掉， ∴代数式等于a，
②若b＞a则绝对值内符号相反， ∴代数式等于b
由此可见输入一对数字，可以得到这对数字中大的那个数（这跟谁是a谁是b无关） 既然是求和，那就要把这五十个数加起来还要最大， 我们可以枚举几组数，找找规律，
如果100和99一组，那么99就被浪费了，
因为输入100和99这组数字，得到的只是100， 如果我们取两组数字100和1一组，99和2一组， 则这两组数字代入再求和是199， 如果我们这样取100和99 2和1， 则这两组数字代入再求和是102，
这样，可以很明显的看出，应避免大的数字和大的数字相遇这样就可以使最后的和最大， 由此一来，只要100个自然数里面最大的五十个数字从51到100任意俩个数字不同组， 这样最终求得五十个数之和最大值就是五十个数字从51到100的和， 51＋52＋53＋…＋100＝3775．
同类题型3.2 规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）
①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝6；
②当x＝－2.1时，[x]＋（x）＋[x）＝－7；
③方程4[x]＋3（x）＋[x）＝11的解为1＜x＜1.5；
④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点．
解：①当x＝1.7时， [x]＋（x）＋[x）
＝[1.7]＋（1.7）＋[1.7） ＝1＋2＋2
＝5，故①错误； ②当x＝－2.1时， [x]＋（x）＋[x）
＝[－2.1]＋（－2.1）＋[－2.1）
＝（－3）＋（－2）＋（－2）＝－7，故②正确； ③4[x]＋3（x）＋[x）＝11， 7[x]＋3＋[x）＝11， 7[x]＋[x）＝8，
1＜x＜1.5，故③正确； ④∵－1＜x＜1时，
∴当－1＜x＜－0.5时，y＝[x]＋（x）＋x＝－1＋0＋x＝x－1， 当－0.5＜x＜0时，y＝[x]＋（x）＋x＝－1＋0＋x＝x－1， 当x＝0时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋0＋0＝0，
当0＜x＜0.5时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋1＋x＝x＋1， 当0.5＜x＜1时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋1＋x＝x＋1，
11
∵y＝4x，则x－1＝4x时，得x＝－ ；x＋1＝4x时，得x＝ ；当x＝0时，y＝4x＝0，
33
∴当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有三个交点，故④错误， 答案为②③．
同类题型3.3 设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，＜x＞表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，＜3.4≥3．则方程3[x]＋2{x}＋＜x≥22（ ） A．没有解 B．恰好有1个解
C．有2个或3个解 D．有无数个解
】解：当x＝3时，3[x]＋2{x}＋＜x≥3×3＋2×3＋3＝18，当x＝4时，3[x]＋2{x}＋＜x≥3×4＋2×4＋4＝24，
∴可得x的大致范围为3＜x＜4，
①3＜x＜3.5时，3[x]＋2{x}＋＜x≥3×3＋2×4＋3＝20，不符合方程； ②当3.5＜x＜4时，3[x]＋2{x}＋＜x≥3×3＋2×4＋4＝21，不符合方程． 选A．
同类题型3.4对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此，
22
min{－2，－3}＝______；若min{（x－1），x }＝1，则x＝____________． 解：min{－2，－3}＝－3，
22
∵min{（x－1），x }＝1，
22
当x＝0.5时，x＝（x－1） ，不可能得出，最小值为1，
22
∴当x＞0.5时，（x－1）＜x ，
2
则（x－1） ＝1， x－1＝±1，
x－1＝1，x－1＝－1，
解得：x1 ＝2，x2 ＝0（不合题意，舍去），
22
当x＜0.5时，（x－1）＞x ，
2
则x ＝1，
解得：x1 ＝1（不合题意，舍去），x2 ＝－1， 综上所述：x的值为：2或－1．
1
例4．已知点A在函数y1＝－（x＞0）的图象上，点B在直线y2 ＝kx＋1＋k（k为常数，且k≥0）上．若
xA，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1 ，y2 图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的
“友好点”对数的情况为（ ） A．有1对或2对 B．只有1对
1
解：设A（a，－ ），
C．只有2对
D．有2对或3对
a1
由题意知，点A关于原点的对称点B（－a， ）在直线y2 ＝kx＋1＋k上，
a1
则 ＝－ak＋1＋k，
a2
整理，得：ka －（k＋1）a＋1＝0 ①， 即（a－1）（ka－1）＝0， ∴a－1＝0或ka－1＝0， 则a＝1或ka－1＝0，
若k＝0，则a＝1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；
1
若k≠0，则a＝1或a＝ ，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，
k综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对， 选A．
同类题型4.1 在平面直角坐标内A，B两点满足： ①点A，B都在函数y＝f（x）的图象上；
②点A，B关于原点对称，则称A，B为函数y＝f（x）的一个“黄金点对”．
??|x＋4|，x≤0
则函数f（x）＝ ?1的“黄金点对”的个数为（ ）
－ ，x＞0??xA．0个 B．1个
解：根据题意：“黄金点对”，可知，
C．2个
D．3个
1
作出函数y＝－ （x＞0）的图象关于原点对称的图象，
x同一坐标系里作出函数y＝|x＋4|，x≤0的图象如右图： 观察图象可得，它们在x≤0时的交点个数是3． 即f（x）的“黄金点对”有：3个． 选D．
同类题型4.2 定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（－1，1），Q（2，3），则P，Q的“实际距离”为5，即PS＋SQ＝5或PT＋TQ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为A（3，1），B（5，－3），C（－1，－5），若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为____________．
解：若设M（x，y），则由题目中对“实际距离”的定义可得方程组：3－x＋1－y＝y＋5＋x＋1＝5－x＋3＋y，
解得，x＝1，y＝－2，则M（1，－2）．
同类题型4.3 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为__________．
解：∵△BCD∽△BAC，
∴∠BCD＝∠A＝46°，
∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD， ∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，
1
①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝ （180°－46°）＝67°，
2
∴∠ACB＝67°＋46°＝113°，
②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°， ∴∠ACB＝46°＋46°＝92°， 故答案为113°或92°．