loading第五章 一元函数积分学 1．基本要求
（1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。
（3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次
线性微分方程的通解公式。
（4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。
（7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。
（8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析
（1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布
尼茨公式；定积分的应用。
（2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。
3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx
解：被积函数sin3x是一个复合函数，它是由f(u)?sinu和u??(x)?3x复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x变形为sin3x??11'sin3xdx?sin3x(3x)dx?sin3xd(3x)??33?1u?3x?cos3x?C
3例2：求不定积分
3x?u1sin3x(3x)'，故有 31(?cosu)?C 3?a2?x2dx(a?0)
22解：为了消去根式，利用三解恒等式sint?cost?1，可令x?asint(??2?t??2)，则
a2?x2?a2?a2sin2t?acost，dx?acosdt，因此，由第二换元积分法，所以积分
化为
?a2?x2dx??acost?acostdt?a2?cos2tdt?a2?1?cos2tdt 2a2a2a2a2a2dt??cos2td(2t)?t?sin2t?C ?(t?sintcost)?C ??24242由于x?asint(??2?t??2)，所以sint?x，t?arcsin(x/a)，利用直角三角形直接写aa21邻边a2?x222arcsin(x/a)?xa2?x2?C 出cost?，于是?a?xdx??22斜边a例3：求不定积分xsinxdx
分析：如果被积函数f(x)?xsinx中没有x或sinx，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x，那么利用分部积分公式就可以消去x（因为u?1）
解令u?x,dv?sinxdx，则du?dx，v??cosx.
于是xsinxdx?udv?uv?vdu?x(?cosx)?(?cosx)dx??xcosx?sinx?C。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号u,v，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算：
'??????xsinxdx???xdcosx??(xcosx??cosxdx)??xcosx?sinx?C
例4：求微分方程
dy?2y?1的通解。 dx解：原方程为可分离变量的方程，移项分离变量得
dydy1?dx，两端积分得：???dx，得ln2y?1?x?C1 从而
1?2y1?2y21e2C12x1ln2y?1?x?C1y??e?。 222e2C112x因为?仍然是常数，把它记做C，故原方程的通解为y?Ce?其中C为任意常数
22例5：求微分方程
dy2?y?x2的通解 dxx?p(x)dxp(x)dx(Q(x)e?dx?C) 解：这是一个一阶线性非齐次方程，通解公式为y?e??在本题中P(x)?2,Q(x)?x2，由通解公式知 xp(x)dxdxdxdx?C)?e?x(?x2e?xdx?C)
?22y?e? = e?p(x)dx(?Q(x)e?22lnx?2lnx(?xe11x54dx?C)?2(?xdx?C)?2(?C)
xx5Cx2即原方程的通解为：y?2?
x5例6：求定积分
?10x2dx
分析：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是在[a,b]上的一个原函数，则
?baf(x)dx?F(b)?F(a)，这就是牛顿-莱布尼茨公式。
x32解：根据牛顿-莱布尼茨公式，因为是x的一个原函数，所以原式有
3x3113031?0xdx?30?3?3?3
12例7：求定积分
1?01?3xdx
8分析：在应用定积分换元时应注意两点：
（1） 换元必换限，上限对上限，下限对下限，即如果用x??(t)把原来的变量换成了新
变量t，积分限也必须也必须换成新变量t的积分限，并且原来下限对应的参数做下限，上限对应的参数做上限。
（2） 求出换元后的原函数?(t)后，不必像计算不定积分那样将它还原成x的函数，只需
将新变量的上、下限带入相减即可。
32解 为了去掉被积函数中的根式，令3x?t，即x?t，于是dx?3tdt，并且当x=0时，
t=0；当x=8时，t=2，因此由换元公式有
2223t2(t?1)?11?01?3xdx??01?tdt?3?0t?1dt 8=3?20(t?1?2211)dt?3[?(t?1)dt??d(t?1)]
00t?1t?122t2=3[(?t)?ln(1?t)]?3ln3
002例8：计算定积分
?10xe?xdx
分析：定积分的分部积分其本质上与先用不定积分的分部积分法求原函数，再用牛顿-莱布
尼茨计算定积分是一样的．因此，定积分的分部积分法的技巧和适应的函数类型与不定积分的分部积分法完全一样．
?x?x解 令u?x，dv?edx，则du?dx,v??e．故由分部积分公式得
112?x?x1?x?1?x?1?x1xedx?x(?e)?(?e)dx??e?ed(?x)??e?e?1? ?0??0000e1例９ 求反常积分
???0xe?xdx
分析： 设f(x)在[a,??)或(??,b]或(??,??)上连续，定义反常积分
????abf(x)dx?limf(x)dx?limb???a?bf(x)dx f(x)dx
????a???a?b?????f(x)dx??0??f(x)dx??0f(x)dx
若上述极限存在，则称相应的反常积分收敛，否则称其发散． 解 因为
?b0xedx???xd(e)??(xe0?b?xb?x?xbbb?x?b??edx)??[be??e?xd(?x)]
000 ??(bebb?1?e?x)?1?b ，
0eb???0所以 这里．极限lim???0xe?xdx?lim?bxe?xdx?lim(1?b???b?1b?1)?1?lim?1 bbb???eeb?1?是型未定式，由洛必达法则易知其极限为０
b???eb?22例１０ 计算由抛物线y?x与y?x，x?0,x?1所围阴影图形的面积
分析：设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，并且f(x)?g(x)(x?[a,b])，则由曲线
y?f(x)与y?g(x)以及x?a,x?b所围成的图形面积Ａ为A??[f(x)?g(x)]dx
ab?y?x2解 联立两抛物线方程?，得交点O(0,0),B(1,1)，并且由图形可知当x?[0,1]时均2?x?y231311有f(x)?x?x?g(x)，则所求图形面积为A??(x?x)dx?[x2?x]?
00333212第六章 多元函数微积分
1．基本要求
（1）了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义，知道求二元函数的定义域。 （2）了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶偏导数和全微分。