loading∴∠2=∠3. ∴△ENF≌△CBE. ∴NF=BE,NE=BC.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC. ∵AD=2AB,BE=AB,
∴设BE=a,则BC=EN=2a,NF=a.
∴BF===a,
CE===a,
CF==CE=a.
∴BF=CF.
∴点F在BC边的垂直平分线上.
与四边形有关的证明与计算培优训练
一、选择题
1.B ∵∠ABC=60°,∠BAC=80°, ∴∠ACB=40°,
又∵四边形ABCD是平行四边形,且E为DC的中点, ∴AD∥BC∥OE, ∴∠1=∠ACB=40°, 故答案为B.
2.D ∵△ABF是由△ADE旋转得到的, ∴S△ABF=S△ADE,
∴S正方形ABCD=S四边形AECF=25, ∴AD=5.
∵DE=2,且△ADE为直角三角形.
∴AE==,故选D.
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3.D ∵AC=4 cm,△ADC的周长为13 cm, ∴AD+DC=13-4=9(cm).
又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,
∴平行四边形的周长为2(AB+BC)=18 cm.故选D. 4.A ∵四边形ABCD为菱形,
∴BD与AC互相垂直且平分,且AB=BC=CD=AD. ∵AC=10,BD=24, ∴AO=5,BO=12,
∴AB==13.
∴菱形ABCD的周长为13×4=52,故选A. 5.B ∵四边形ABCD是正方形, ∴直线AC是正方形ABCD的对称轴,
∵EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J, ∴由对称性可知:四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等,
∴S阴=S正方形ABCD=,故选B. 6.B 连接AC、BD.AC交FG于L.
∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, ∵DH=HA,DG=GC,
∴GH∥AC,且GH=AC,
同理可得EF∥AC,且EF=AC, ∴GHEF,
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∴四边形EFGH是平行四边形, 同理可证GF∥BD∥EH, ∴∠OLF=∠AOB=90°, ∵AC∥GH,
∴∠HGL=∠OLF=90°, ∴四边形EFGH是矩形.故选B.
7.C ∵四边形ABCD是正方形,边长为2, ∴AB=BC=CD=AD=2,∠DAB=∠ABC=90°. ∵E为AB的中点,F为BC的中点, ∴AE=BF=1,
∴△AED≌△BFA(SAS),AF=
∴∠BAF=∠ADE, ∵∠BAF+∠FAD=90°, ∴∠ADE+∠FAD=90°, ∴∠AMD=90°=∠ABF, ∴△AMD∽△FBA,
∴=,
∴=,
∴AM==.
∵AD∥BC, ∴△AND∽△FNB,
∴=,
∴=,
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∴AN=,
∴MN=AN-AM=-=,
故选C. 二、填空题 8.答案 2
解析 在矩形ABCD中,设AB=CD=2x,则AE=BE=CG=DG=x,AD2=BC2=AC2-CD2=6-4x2
, ∵AG⊥GF,
∴∠AGD+∠CGF=90°, 又∵∠AGD+∠DAG=90°, ∴∠CGF=∠DAG, ∴△ADG∽△GCF,
∴=,即DG·GC=AD·CF,
∵DG=GC=x,CF=AD,
∴x2=AD2=(6-4x2
), 解得x1=1,x2=-1(舍去), 则AB=2x=2.
9.答案
解析 延长DM交CB的延长线于H,
∵四边形ABCD为菱形, ∴AB=AD=BC=2,AD∥BC, ∴∠ADM=∠H,
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